O número de valores de x, para os quais os coeficientes binomiais (6 sobre 2x) e (6 sobre x²) sejam iguais, é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O número de valores de x, para os quais os coeficientes binomiais (6 sobre 2x) e (6 sobre x²) sejam iguais, é (Mackenzie 2017)
- A) 1
- B) 2
- C) 3
- D) 4
- E) 5
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Lembre que C(n,k) = C(n,j) acontece em dois casos: quando k = j (mesmo valor da parte de baixo) ou quando k + j = n (complementares). Aqui n = 6.
- Caso 1, iguala-se a parte de baixo: 2x = x^2, o que dá x^2 - 2x = 0, logo x(x - 2) = 0 e x = 0 ou x = 2.
- Caso 2, soma igual a 6: 2x + x^2 = 6, ou seja, x^2 + 2x - 6 = 0. O discriminante é 4 + 24 = 28, então x = -1 + raiz de 7 ou x = -1 - raiz de 7. Esses valores não são inteiros, e para o coeficiente binomial estar definido é preciso que 2x e x^2 sejam inteiros entre 0 e 6. Logo esses valores são descartados.
- Verificando x = 0: C(6,0) = 1 e C(6,0) = 1, iguais. Verificando x = 2: C(6,4) = 15 e C(6,4) = 15, iguais.
- Portanto há exatamente 2 valores de x, e a alternativa correta é a B. O gabarito oficial está correto.
- Por que as outras estão erradas: A ignora uma das soluções; C aceita um valor a mais indevidamente; D e E incluem valores que não tornam os binomiais definidos ou que não satisfazem a igualdade.
💡 Dica: Iguale os coeficientes binomiais e resolva a equação resultante.
Alternativa por alternativa
O aluno resolve apenas a igualdade das partes de baixo, encontra x = 0 e x = 2, mas esquece de verificar que x = 2 também funciona, ou descarta uma das raízes. Pode também achar que a solução trivial x = 0 é a única.
CORRETA. Existem exatamente dois valores de x que tornam os coeficientes binomiais iguais: x = 0 e x = 3.
O aluno aceita valores que tornam a soma 6 mas não são inteiros, como as raízes irracionais de x^2 + 2x - 6 = 0, ou inclui uma solução extra sem checar se os coeficientes binomiais estão definidos.
O aluno considera valores negativos ou valores que não tornam 2x e x^2 inteiros entre 0 e 6, não percebendo que o coeficiente binomial exige números naturais na parte de baixo.
O aluno soma as soluções das duas condições sem critério e conta raízes de equações diferentes como se todas valessem, sem verificar a condição de existência dos binomiais.
Raio-X da questão
coeficiente binomial e equação
avaliacao
coeficiente binomial · equação do segundo grau
estude propriedades e definições de coeficientes binomiais
Confundir os índices dos coeficientes binomiais ou não aplicar corretamente a definição para montar a equação.
pensamento_critico
abstrato
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