O número de soluções que a equação 4 cos²x - cos 2x + cos x = 2 admite no intervalo [0, 2p] é (Mackenzie 2017)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O número de soluções que a equação 4 cos²x - cos 2x + cos x = 2 admite no intervalo [0, 2p] é (Mackenzie 2017)
- A) 0
- B) 1
- C) 2
- D) 3
- E) 4
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Use a identidade do arco duplo cos 2x = 2cos^2 x - 1 para eliminar cos 2x da equação 4cos^2 x - cos 2x + cos x = 2. Assim, 4cos^2 x - (2cos^2 x - 1) + cos x = 2.
- Simplifique: 4cos^2 x - 2cos^2 x + 1 + cos x = 2, o que resulta em 2cos^2 x + cos x - 1 = 0.
- Faça a substituição c = cos x e resolva a equação do 2º grau 2c^2 + c - 1 = 0. Fatorando, (2c - 1)(c + 1) = 0, logo c = 1/2 ou c = -1.
- Para c = -1, cos x = -1 tem uma única solução em [0, 2pi], que é x = pi.
- Para cos x = 1/2, há duas soluções em [0, 2pi], que são x = pi/3 (1º quadrante) e x = 5pi/3 (4º quadrante), pois o cosseno é positivo no 1º e no 4º quadrantes.
- Somando as soluções obtidas, temos 1 + 2 = 3 soluções no intervalo [0, 2pi]. Portanto, a alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a alternativa A (0) ignora que a equação tem soluções reais; a alternativa B (1) considera apenas x = pi e esquece as duas soluções de cos x = 1/2; a alternativa C (2) considera apenas as soluções de cos x = 1/2 e descarta x = pi; a alternativa E (4) conta uma solução a mais do que existe no intervalo.
💡 Dica: Use identidades trigonométricas para simplificar e encontrar as soluções no intervalo dado.
Alternativa por alternativa
Provavelmente substituiu cos 2x incorretamente ou cometeu erro de sinal ao simplificar, chegando a uma equação sem solução real no intervalo.
Encontrou apenas x = pi (cos x = -1) e não percebeu que cos x = 1/2 gera outras soluções no intervalo, ou seja, esqueceu uma das raízes da equação do 2º grau.
Encontrou pi/3 e 5pi/3 corretamente, mas descartou ou não considerou o caso cos x = -1, que também satisfaz a equação e fornece x = pi.
CORRETA. Após manipular a equação usando identidades trigonométricas e fatoração, encontram-se três soluções distintas no intervalo [0, 2π].
Provavelmente contou soluções em excesso, por exemplo atribuindo duas soluções ao caso cos x = -1 ou repetindo uma solução já encontrada, o que mostra falta de noção do número exato de pontos no ciclo trigonométrico.
Raio-X da questão
equação trigonométrica soluções
diagnostico
identidades trigonométricas básicas · resolução de equações trigonométricas
Estude identidades trigonométricas e resolução de equações trigonométricas.
Confundir as identidades trigonométricas ou esquecer o intervalo de análise, levando a contagem incorreta das soluções.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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