Se (2 + i) / (ß + 2i) tem parte imaginária igual a zero, então o número real ß é igual a (Mackenzie 2017)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se (2 + i) / (ß + 2i) tem parte imaginária igual a zero, então o número real ß é igual a (Mackenzie 2017)
- A) 4
- B) 2
- C) 1
- D) −2
- E) −4
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Para separar a parte real da parte imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é (β − 2i). Passo 2: No numerador, (2 + i)(β − 2i) = 2β − 4i + βi − 2i^2 = 2β + 2 + (β − 4)i, pois i^2 = −1. Passo 3: No denominador, (β + 2i)(β − 2i) = β^2 + 4, que é um número real positivo e não altera a parte imaginária. Passo 4: Logo a fração equivale a (2β + 2)/(β^2 + 4) + ((β − 4)/(β^2 + 4))i. Para que a parte imaginária seja zero, devemos ter β − 4 = 0, ou seja, β = 4. Passo 5: Conferência: com β = 4, a fração fica 10/20 = 1/2, um número real, com parte imaginária zero. Passo 6: O gabarito oficial A (4) está correto. Por que as outras estão erradas: B) com β = 2, a parte imaginária é −2/8, diferente de zero; C) com β = 1, a parte imaginária é −3/5, diferente de zero; D) com β = −2, a parte imaginária é −6/8, diferente de zero; E) com β = −4, a parte imaginária é −8/20, diferente de zero.
💡 Dica: Multiplique numerador e denominador pelo conjugado do denominador e iguale a parte imaginária a zero.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Ao racionalizar e igualar a parte imaginária a zero, encontra-se β = 4.
O aluno pode ter igualado β ao coeficiente 2 do numerador ou do denominador, sem fazer a multiplicação pelo conjugado e sem calcular a parte imaginária. Assim, não percebe que β − 4 é o termo que deve ser zerado.
O aluno pode ter tomado o coeficiente 1 de i no numerador (2 + i) como se fosse a parte imaginária da expressão, igualando-o a β. Ele não desenvolve o produto e ignora o termo −4i vindo de 2 × (−2i).
O aluno provavelmente errou o sinal ao somar em vez de multiplicar termos, obtendo β + 2 em vez de β − 4 como parte imaginária. Isso leva a β = −2.
O aluno pode ter usado β + 2i em vez do conjugado β − 2i, o que troca o sinal do termo cruzado. Com isso a parte imaginária vira β + 4 e ele encontra β = −4.
Raio-X da questão
números complexos parte imaginária
diagnostico
operações com números complexos · parte real e imaginária
estude operações com números complexos e parte imaginária
O aluno pode esquecer de usar o conjugado para eliminar a parte imaginária ou confundir parte real com imaginária.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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