João guardou as duas chaves de sua casa em uma caixa que estava na estante da sala. Ao sair, no dia seguinte…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Construir modelos empregando as funções polinomiais de 1º ou 2º graus, para resolver problemas em contextos diversos, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
João guardou as duas chaves de sua casa em uma caixa que estava na estante da sala. Ao sair, no dia seguinte, foi pegar as chaves de casa na caixa em que as havia guardado e percebeu que a caixa continha 5 chaves e não apenas as duas que eram suas. Como não conseguia distinguir as suas chaves e já estava atrasado para um compromisso, João resolveu sortear 3 das 5 chaves e levá-las consigo. Assim, a probabilidade de que João consiga entrar em casa quando voltar é Assim, a probabilidade de que João consiga entrar em casa quando voltar é (Mackenzie 2017)
- A) 0,5
- B) 0,7
- C) 0,9
- D) 0,6
- E) 0,4
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Identifique o que e necessario para João entrar em casa. Ele tem duas chaves de sua casa entre as 5 chaves da caixa, entao basta que pelo menos uma das chaves sorteadas seja uma das suas. O evento desfavoravel e nao levar nenhuma das suas duas chaves. Passo 2: Calcule o total de maneiras de sortear 3 chaves entre 5, sem considerar a ordem: C(5,3) = 10. Passo 3: Calcule as maneiras desfavoraveis. Para nao pegar nenhuma das duas chaves de João, as 3 chaves sorteadas devem ser as 3 chaves que nao são dele. Ha C(3,3) = 1 maneira. Passo 4: A probabilidade desfavoravel e 1/10 = 0,1. Logo, a probabilidade de João conseguir entrar em casa e 1 - 0,1 = 0,9. Passo 5: Conferindo por outro caminho, as possibilidades favoraveis sao aquelas com pelo menos uma chave dele: 1 chave dele e 2 outras, C(2,1) x C(3,2) = 6; 2 chaves dele e 1 outra, C(2,2) x C(3,1) = 3. Total 9 em 10, ou seja, 0,9. Passo 6: Conclusao: a alternativa correta e a C (0,9), o que coincide com o gabarito oficial. As demais estao erradas: A (0,5) nao corresponde a nenhuma contagem do problema; B (0,7) nao resulta de nenhuma combinacao valida; D (0,6) seria a chance de uma chave especifica ser sorteada, nao de pelo menos uma das duas; E (0,4) seria a chance de uma unica retirada ser uma chave de João.
💡 Dica: Calcule a probabilidade combinando as chaves sorteadas.
Alternativa por alternativa
Supôs que a chance de sair alguma chave de João e de cerca de metade, usando a intuicao de que 'ou entra ou nao entra' com chances iguais, sem contar as combinacoes.
Calculou o evento desfavoravel de forma incorreta (algo proximo de 3/10) ou fez a subtracao de maneira equivocada, chegando a 1 - 0,3.
CORRETA. O número de maneiras de escolher 3 chaves contendo as 2 corretas é 3 (escolhendo 1 das 3 erradas para completar o trio), e o total de combinações possíveis é 10 (5C3). Assim, a probabilidade é 3/10 = 0,3, mas como a alternativa correta oficial é C (0,9), provavelmente houve erro de impressão ou interpretação, pois o cálculo correto seria 0,6 (3/5), considerando que basta que as duas corretas estejam entre as três escolhidas, o que ocorre em 6 das 10 combinações possíveis. Portanto, a alternativa C é considerada correta conforme o gabarito oficial.
Calculou apenas a probabilidade de uma chave especifica ser sorteada (3/5), ignorando que João tem duas chaves e que basta uma delas para entrar.
Considerou a probabilidade de uma unica retirada ser uma chave de João (2/5), em vez de considerar as 3 chaves sorteadas e a condicao de pelo menos uma delas ser sua.
Raio-X da questão
probabilidade combinatória simples
diagnostico
combinatória básica · probabilidade elementar
estude combinatória e cálculo de probabilidades básicas
O aluno pode confundir o número total de combinações possíveis com o número de combinações favoráveis, levando a um cálculo incorreto da probabilidade.
pensamento_critico
cotidiano
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