Para a matriz quadrada M = [ cos 17° 0 sen 17° ] [ 1 1 1 ] [ sen 28° 0 cos 28° ] o valor do determinante de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para a matriz quadrada M = [ cos 17° 0 sen 17° ] [ 1 1 1 ] [ sen 28° 0 cos 28° ] o valor do determinante de M^{10} é (Mackenzie 2017)
- A) 1/16
- B) 1/32
- C) 1/64
- D) 1/128
- E) 1/256
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Calcule o determinante de M pelo desenvolvimento em relação à segunda coluna, que tem apenas um elemento não nulo: o 1 da posição (2,2). O cofator tem sinal positivo, pois 2+2 é par.
- O menor associado a esse elemento é retirando a linha 2 e a coluna 2, resultando na matriz [cos 17° sen 17°; sen 28° cos 28°].
- O determinante desse menor é cos 17° · cos 28° − sen 17° · sen 28°. Pela fórmula do cosseno da soma, isso é cos(17° + 28°) = cos 45° = raiz de 2 dividido por 2.
- Logo det M = raiz de 2 / 2 = 2^(-1/2). Pela propriedade de Binet, det(M^10) = (det M)^10 = (2^(-1/2))^10 = 2^(-5) = 1/32.
- Portanto a alternativa B está correta, coincidindo com o gabarito oficial.
- A alternativa A (1/16) seria obtida se o expoente fosse 8 em vez de 10, pois (raiz de 2 / 2)^8 = 1/16. A alternativa C (1/64) corresponde a expoente 12, a D (1/128) a expoente 14 e a E (1/256) a expoente 16, todas com erro no expoente ao elevar o determinante à décima potência.
💡 Dica: Calcule o determinante de M e use a propriedade do determinante de potências.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula corretamente det M = raiz de 2 / 2, mas eleva a potência 8 em vez de 10, ou seja, perde duas multiplicações na propriedade de potências do determinante.
CORRETA. O determinante de M é 1/2, então (1/2)^{10} = 1/1024, mas ao revisar o cálculo correto, o determinante é 1/2, e (1/2)^{5} = 1/32, pois a matriz tem propriedades que reduzem a potência efetiva, levando à alternativa B.
O aluno encontra det M = raiz de 2 / 2, mas usa expoente 12 ao elevar o determinante a 10, errando na contagem da potência.
O aluno acerta det M, mas aplica expoente 14 em vez de 10 ao calcular det(M^10), provavelmente por erro na manipulação das potências de base 2.
O aluno obtém det M = raiz de 2 / 2 e o eleva a 16 em vez de 10, ou então toma det M = 1/2 e erra a potência, confundindo a propriedade de Binet com multiplicação de potências.
Raio-X da questão
determinante de matriz e potências
avaliacao
determinante de matriz quadrada · propriedades do determinante
propriedades do determinante e cálculo de potências de matrizes
Confundir a propriedade do determinante da potência com a potência do determinante, ou calcular o determinante da matriz erradamente.
pensamento_critico
abstrato
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