Os valores de R, P e A para que a igualdade (2x^2 + 5x - 1)/(x^3 - x) = R/x + P/(x+1) + A/(x-1) seja uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Os valores de R, P e A para que a igualdade (2x^2 + 5x - 1)/(x^3 - x) = R/x + P/(x+1) + A/(x-1) seja uma identidade são, respectivamente, (Mackenzie 2017)
- A) 3, 1 e -2
- B) 1, -2 e 3
- C) 3, -2 e 1
- D) 1, 3 e -2
- E) -2, 1 e 3
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Fatore o denominador: x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1). Assim, a identidade fica (2x^2 + 5x - 1)/(x(x - 1)(x + 1)) = R/x + P/(x + 1) + A/(x - 1). Passo 2: Multiplique os dois lados por x(x - 1)(x + 1) para eliminar os denominadores, obtendo 2x^2 + 5x - 1 = R(x^2 - 1) + P(x^2 - x) + A(x^2 + x). Passo 3: Como a igualdade vale para todo x, os valores de x que zeram alguns termos simplificam o cálculo. Para x = 0: -1 = -R, logo R = 1. Passo 4: Para x = -1: 2(1) + 5(-1) - 1 = -4 e o lado direito fica P((-1)^2 - (-1)) = P(2), logo 2P = -4 e P = -2. Passo 5: Para x = 1: 2 + 5 - 1 = 6 e o lado direito fica A(1 + 1) = 2A, logo A = 3. Passo 6: Confira com os coeficientes restantes. O coeficiente de x^2 deve valer 2: R + P + A = 1 - 2 + 3 = 2, correto. O coeficiente de x deve valer 5: -P + A = 2 + 3 = 5, correto. Passo 7: Portanto (R, P, A) = (1, -2, 3), que corresponde à alternativa B, de acordo com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A traz R = 3 e P = 1, valores que não satisfazem o termo constante; C troca R e A; D troca P e A; E troca R e P, e cada uma dessas combinações falha ao testar x = 0, x = -1 ou x = 1.
💡 Dica: Use decomposição em frações parciais para encontrar R, P e A.
Alternativa por alternativa
Trocou os resíduos das frações, atribuindo 3 a R e 1 a P, e não obteve o valor de R pela substituição de x = 0.
CORRETA. Substituindo R = 1, P = -2 e A = 3 na decomposição, os coeficientes dos termos correspondentes do numerador ficam iguais, validando a identidade.
Associou R ao resíduo de x - 1 e A ao resíduo de x, invertendo as posições ao identificar os coeficientes após substituir os valores de x.
Calculou corretamente R = 1, mas inverteu P e A ao substituir x = -1 e x = 1, atribuindo P = 3 e A = -2.
Confundiu o fator associado a x com o fator associado a x + 1 e inverteu os valores de R e P, obtendo R = -2 e P = 1.
Raio-X da questão
frações parciais decomposição
diagnostico
frações algébricas · equações algébricas
Estude decomposição em frações parciais e identidades algébricas.
Confundir os denominadores ou não igualar os coeficientes corretamente ao montar o sistema para R, P e A.
pensamento_critico
abstrato
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