Duas pessoas patinam sobre o gelo descrevendo trajetórias circulares. As circunferências descritas por elas…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Duas pessoas patinam sobre o gelo descrevendo trajetórias circulares. As circunferências descritas por elas são dadas pelas equações (x+3)^2 + (y+1)^2 = 10 e (x+3)^2 + y^2 = 13, respectivamente. A distância entre os dois pontos de interseção das circunferências é (Mackenzie 2017)
- A) 3
- B) 4
- C) 5
- D) 6
- E) 7
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Identifique os centros e os raios. A primeira circunferência tem centro (-3, -1) e r^2 = 10. A segunda tem centro (-3, 0) e r^2 = 13. Passo 2: Encontre a reta dos pontos de interseção subtraindo as equações. Na primeira menos a segunda: (y+1)^2 - y^2 = 10 - 13, ou seja, 2y + 1 = -3, logo y = -2. Passo 3: Substitua y = -2 na segunda equação: (x+3)^2 + (-2)^2 = 13, então (x+3)^2 = 9, logo x + 3 = 3 ou x + 3 = -3, o que dá x = 0 ou x = -6. Passo 4: Os pontos de interseção são (0, -2) e (-6, -2). Verificação: na primeira equação, (0+3)^2 + (-2+1)^2 = 9 + 1 = 10, e (-6+3)^2 + (-2+1)^2 = 9 + 1 = 10. Passo 5: Como os pontos têm a mesma ordenada, a distância entre eles é a diferença das abscissas: |0 - (-6)| = 6. Assim, a alternativa correta é a D, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (3) é metade da corda, que não é a distância pedida; B (4) e C (5) não correspondem às abscissas corretas dos pontos; E (7) não é a diferença entre as coordenadas dos pontos de interseção.
💡 Dica: Use o sistema das equações das circunferências para encontrar os pontos de interseção e calcule a distância entre eles.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou corretamente os pontos, mas tomou a metade da corda, confundindo a distância entre os pontos de interseção com a distância de um ponto ao eixo de simetria.
Ao expandir (y+1)^2 ou resolver (x+3)^2 = 9, o aluno errou o sinal ou o termo independente e encontrou abscissas erradas, cuja diferença resultou em 4.
O aluno tomou coordenadas que não são as de interseção, por exemplo combinando valores de x e y de forma aleatória, o que deu uma diferença de 5.
CORRETA. Ao resolver o sistema das duas circunferências, encontra-se que os pontos de interseção têm distância 6 entre si.
O aluno somou ou comparou os raios e as distâncias entre centros de forma intuitiva, tomando a soma dos raios aproximada como valor da corda.
Raio-X da questão
interseção de circunferências
avaliacao
equação da circunferência · distância entre pontos
Estude equações de circunferências e cálculo de distância entre pontos.
Confundir os centros das circunferências ou calcular incorretamente a distância entre os pontos de interseção.
pensamento_critico
abstrato
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