Se log 2, log (2^x – 1) e log (2^x + 3), nessa ordem, estão em progressão aritmética crescente, então o valor…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se log 2, log (2^x – 1) e log (2^x + 3), nessa ordem, estão em progressão aritmética crescente, então o valor de x é (Mackenzie 2016)
- A) 2
- B) log₂3
- C) log₂5
- D) 2³
- E) 2⁵
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Como os três termos estão em progressão aritmética (PA), o termo do meio é a média dos vizinhos: 2·log(2^x – 1) = log 2 + log(2^x + 3). Basta que o logaritmo esteja definido, ou seja, 2^x – 1 > 0 e 2^x + 3 > 0. Passo 2: Pela propriedade do produto e da potência de logaritmos, o lado esquerdo vira log((2^x – 1)^2) e o lado direito vira log(2(2^x + 3)). Como o logaritmo é injetivo, os argumentos são iguais: (2^x – 1)^2 = 2(2^x + 3). Passo 3: Fazendo y = 2^x, obtemos y^2 – 2y + 1 = 2y + 6, isto é, y^2 – 4y – 5 = 0. Fatorando, (y – 5)(y + 1) = 0, logo y = 5 ou y = –1. Passo 4: Como y = 2^x é sempre positivo, y = –1 é descartado. Assim 2^x = 5, e portanto x = log₂5. Passo 5: Verificação: com 2^x = 5, os termos são log 2, log 4 e log 8, que são log 2, 2·log 2 e 3·log 2, uma PA crescente de razão log 2 (positiva, pois o logaritmo de 2 é positivo na base 10 ou em qualquer base maior que 1). Passo 6: Por isso a alternativa C está correta e coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada, pois x = 2 daria termos log 2, log 3 e log 7, que não formam PA. A alternativa B está errada, pois 2^x = 3 daria log 2, log 2 e log 6, que não são crescentes. A alternativa D está errada, pois x = 8 não satisfaz a condição de PA. A alternativa E está errada, pois x = 32 também não satisfaz a condição.
💡 Dica: Use a definição de progressão aritmética para montar uma equação e resolver para x.
Alternativa por alternativa
Aluno que marca x = 2 provavelmente tenta um valor simples por tentativa e não verifica a condição de PA: com x = 2 os termos seriam log 2, log 3 e log 7, e 2·log 3 = log 9 não é igual a log 2 + log 7 = log 14.
Aluno que marca log₂3 provavelmente confunde a definição de logaritmo, tratando log₂3 como se fosse o valor de 2^x (ou seja, escrevendo 2^x = 3). Com isso, os termos viram log 2, log 2 e log 6, que não são crescentes.
CORRETA. Ao substituir x = log₂5, temos 2^x = 5, e os termos log 2, log(5-1)=log 4 e log(5+3)=log 8 formam uma progressão aritmética, pois log 2, log 4 e log 8 são termos igualmente espaçados (diferença de log 2).
Aluno que marca 2³ provavelmente confunde o expoente com o valor de x: ao obter 2^x = 8, escreve x = 2³ em vez de x = log₂8 = 3. Trata a operação inversa do logaritmo como se fosse uma potência da base.
Aluno que marca 2⁵ provavelmente lê log₂5 como se fosse 2⁵, invertendo a relação entre logaritmo e potência. Isso confunde o papel da base e do argumento, já que log₂5 é o expoente ao qual se eleva 2 para obter 5.
Raio-X da questão
progressão aritmética e logaritmos
diagnostico
propriedades de logaritmos · progressão aritmética
Estude propriedades de logaritmos e progressão aritmética.
Confundir a definição de progressão aritmética ou aplicar incorretamente as propriedades dos logaritmos.
pensamento_critico
abstrato
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