Antônio, José, Pedro, Maria e Renata foram comemorar o aniversário de Antônio em uma churrascaria da cidade. O…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Antônio, José, Pedro, Maria e Renata foram comemorar o aniversário de Antônio em uma churrascaria da cidade. O garçom que os recebeu acomodou-os prontamente em uma mesa redonda para 5 pessoas e assim que todos se sentaram Antônio percebeu que, sem querer, haviam sentado em volta da mesa por ordem de idade, isto é, a partir do segundo mais novo até o mais velho, cada um tinha como vizinho do mesmo lado, o colega imediatamente mais novo. A probabilidade de isso ocorrer se os cinco amigos sentassem aleatoriamente é (Mackenzie 2016)
- A) 1/2
- B) 1/4
- C) 1/6
- D) 1/12
- E) 1/24
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Em mesa redonda, arranjos que diferem apenas por rotação são considerados iguais. Com 5 pessoas, o número total de arranjos circulares distintos é (5-1)! = 4! = 24, e todos são igualmente prováveis.
- Identifique os arranjos favoráveis. Ordene as idades: Pedro, José, Antônio e Maria e Renata estão em alguma ordem, mas o enunciado diz que, a partir do segundo mais novo até o mais velho, cada um tem como vizinho do mesmo lado o colega imediatamente mais novo. Isso fixa a sequência cíclica completa: mais velho, 4º, 3º, 2º mais novo, mais novo e de volta ao mais velho, percorrendo a mesa sempre no mesmo sentido.
- O enunciado não diz para qual lado (horário ou anti-horário) está o vizinho mais novo, então os dois sentidos são válidos. Logo há 2 arranjos favoráveis.
- Probabilidade = 2/24 = 1/12, que é a alternativa D, igual ao gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A (1/2) e B (1/4) supõem um espaço amostral pequeno demais, como se só alguns arranjos fossem possíveis; C (1/6) corresponde a 4 casos favoráveis em 24, o que não corresponde à condição de sentido único; E (1/24) considera apenas um dos dois sentidos possíveis, ignorando que o lado não foi especificado.
💡 Dica: Calcule a probabilidade considerando as permutações circulares e a ordem de idade.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente imagina que a metade dos arranjos cumpre a condição, talvez por pensar em 'de um lado ou do outro', sem contar corretamente o total de arranjos circulares.
O aluno pode ter calculado 2 favoráveis em 8 possibilidades, usando um total errado (como 2^3 ou 4 pessoas fixas) em vez de 4! = 24 arranjos circulares.
O aluno pode ter contado 4 arranjos favoráveis em 24, por exemplo considerando que cada uma das quatro posições pode ser iniciada de forma independente, sem perceber que a sequência cíclica inteira fica determinada e que há apenas dois sentidos.
CORRETA. Em uma mesa redonda, o número de maneiras de sentar 5 pessoas é (5-1)! = 24. Apenas duas ordens (sentido horário e anti-horário) satisfazem a condição, então a probabilidade é 2/24 = 1/12.
O aluno considera apenas um sentido (por exemplo, horário) para a relação de vizinhança, ignorando que o enunciado diz 'do mesmo lado' sem especificar qual, o que conta os dois sentidos como favoráveis.
Raio-X da questão
probabilidade permutação circular
avaliacao
probabilidade básica · permutação simples
Estude permutação circular e cálculo de probabilidades em arranjos.
Confundir permutação linear com permutação circular, levando a cálculo incorreto da probabilidade.
pensamento_critico
cotidiano
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