Os gráficos das funções f(x) = sen 4x e g(x) = cos 3x, para 0 = x = p, se interceptam em (Mackenzie 2016)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Os gráficos das funções f(x) = sen 4x e g(x) = cos 3x, para 0 = x = p, se interceptam em (Mackenzie 2016)
- A) cinco pontos.
- B) quatro pontos.
- C) três pontos.
- D) dois pontos.
- E) apenas um ponto.
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Interpretei o intervalo como 0 <= x <= pi (no enunciado aparece como 0 = x = p, provavelmente por erro de digitação). Pergunta-se quantos pontos de interseção existem entre f(x) = sen 4x e g(x) = cos 3x, ou seja, quantas soluções em [0, pi] tem a equação sen 4x = cos 3x. Passo 2: Usei a identidade cos 3x = sen(pi/2 - 3x), que transforma a equação em sen 4x = sen(pi/2 - 3x). Passo 3: Há duas famílias de soluções. Na primeira, 4x = pi/2 - 3x + 2k*pi, logo 7x = pi/2 + 2k*pi e x = pi/14 + 2k*pi/7 = (1 + 4k)*pi/14. Na segunda, 4x = pi - (pi/2 - 3x) + 2k*pi, logo x = pi/2 + 2k*pi. Passo 4: Na primeira família, 0 <= (1 + 4k)*pi/14 <= pi exige 0 <= 1 + 4k <= 14, o que dá k = 0, 1, 2, 3 e as soluções pi/14, 5pi/14, 9pi/14 e 13pi/14. Passo 5: Na segunda família, a única solução no intervalo é x = pi/2. Verificação: sen(2pi) = 0 e cos(3pi/2) = 0. Passo 6: Essas soluções são distintas, pois pi/2 = 7pi/14 não aparece na primeira família. Logo há 5 pontos de interseção, e a alternativa A está correta, de acordo com o gabarito oficial. Passo 7: Por que as outras estão erradas: a alternativa B omite a solução x = pi/2; a alternativa C conta apenas parte das soluções; a alternativa D ignora a maioria dos cruzamentos; a alternativa E considera apenas o cruzamento mais visível. Os extremos x = 0 e x = pi não são soluções, pois sen 0 = 0 e cos 0 = 1, e sen 4pi = 0 e cos 3pi = -1.
💡 Dica: Compare os valores das funções seno e cosseno para encontrar os pontos de interseção.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Ao igualar sen 4x = cos 3x e resolver a equação no intervalo 0 ≤ x ≤ π, encontram-se cinco soluções distintas, correspondendo a cinco pontos de interseção.
Encontrou as soluções da família sen 4x = sen(pi/2 - 3x) com 4x = pi/2 - 3x, mas esqueceu a outra família de soluções, que resulta em x = pi/2.
Contou apenas algumas das soluções da primeira família, provavelmente perdendo valores de k ou errando o limite superior do intervalo, e não incluiu a solução x = pi/2.
Acredita que duas curvas trigonométricas com períodos diferentes se cruzam só poucas vezes, estimando a quantidade de interseções pelo número de períodos em vez de resolver a equação.
Imagina que as curvas se cruzam apenas uma vez, guiando-se pela intuição visual de um único ponto de encontro e não pela resolução algébrica da equação sen 4x = cos 3x.
Raio-X da questão
interseção de funções trigonométricas
diagnostico
função seno e cosseno · propriedades trigonométricas básicas
Estude propriedades e gráficos das funções seno e cosseno.
Confundir os períodos das funções seno e cosseno e não identificar corretamente os pontos de interseção.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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