Com relação às equações das elipses 25x² + 16y² + 150x + 256y - 351 = 0 e 16x² + 25y² - 96x - 200y + 144 = 0…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Com relação às equações das elipses 25x² + 16y² + 150x + 256y - 351 = 0 e 16x² + 25y² - 96x - 200y + 144 = 0, podemos afirmar que (Mackenzie 2016)
- A) as elipses têm centros coincidentes.
- B) as elipses têm a mesma distância focal.
- C) as elipses têm a mesma excentricidade.
- D) as elipses têm focos sobre o eixo das abscissas.
- E) o eixo maior de uma delas é o dobro do eixo menor da outra.
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Complete os quadrados da primeira equação. 25x² + 150x = 25(x+3)² - 225 e 16y² + 256y = 16(y+8)² - 1024. Substituindo: 25(x+3)² + 16(y+8)² = 1600, ou seja, (x+3)²/64 + (y+8)²/100 = 1. Logo a² = 100 (eixo maior vertical), b² = 64, centro (-3, -8), c² = 100 - 64 = 36, c = 6 e excentricidade e = c/a = 6/10 = 3/5. Distância focal 2c = 12. Passo 2: Complete os quadrados da segunda equação. 16x² - 96x = 16(x-3)² - 144 e 25y² - 200y = 25(y-4)² - 400. Substituindo: 16(x-3)² + 25(y-4)² = 400, ou seja, (x-3)²/25 + (y-4)²/16 = 1. Logo a² = 25 (eixo maior horizontal), b² = 16, centro (3, 4), c² = 25 - 16 = 9, c = 3, excentricidade e = 3/5 e distância focal 6. Passo 3: Compare as afirmações. C é verdadeira, pois as duas elipses têm excentricidade 3/5. A é falsa, pois os centros são (-3, -8) e (3, 4), diferentes. B é falsa, pois as distâncias focais são 12 e 6. D é falsa, pois os focos da primeira estão na reta x = -3 e os da segunda na reta y = 4, nenhum sobre o eixo das abscissas (y = 0). E é falsa, pois o eixo maior da primeira vale 20 e o dobro do eixo menor da segunda vale 16; e o eixo maior da segunda vale 10 e o dobro do eixo menor da primeira vale 128. Passo 4: Conclusão: a alternativa correta é a C, que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Transforme as equações na forma padrão da elipse para comparar suas características.
Alternativa por alternativa
Supõe que, por as duas equações terem termos em x e y com os mesmos coeficientes de forma parecida, os centros coincidem, sem completar os quadrados para achar (-3, -8) e (3, 4).
Confunde a distância focal com a metade dela ou calcula c errado, obtendo o mesmo valor para as duas elipses; na verdade a primeira tem 2c = 12 e a segunda 2c = 6.
CORRETA. Ao calcular a excentricidade de ambas as elipses, percebe-se que elas possuem o mesmo valor, pois a razão entre os semi-eixos principais e secundários é a mesma.
Acredita que focos sobre o eixo das abscissas significa apenas que a elipse é horizontal, ou não percebe que os focos da primeira estão em x = -3 e os da segunda em y = 4, nenhum sobre y = 0.
Compara os eixos maiores e menores de forma cruzada sem identificar corretamente a e b de cada elipse, já que a primeira tem a = 10 e b = 8 e a segunda tem a = 5 e b = 4, o que leva a uma relação de dobro falsa.
Raio-X da questão
equações de elipses
diagnostico
equação geral da cônica · forma padrão da elipse
estudo da forma padrão e propriedades da elipse
Não completar a transformação para a forma padrão e confundir os parâmetros da elipse.
pensamento_critico
abstrato
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