No triângulo ABC, da figura acima, \overline{AM} é mediana relativa ao lado \overline{BC} e é perpendicular ao…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No triângulo ABC, da figura acima, \overline{AM} é mediana relativa ao lado \overline{BC} e é perpendicular ao lado \overline{AB}. Se as medidas de BC e \overline{AM} são, respectivamente, 4 cm e 1 cm, então a medida do lado \overline{AC}, em cm, é (Mackenzie 2016)
- A) √2
- B) √3
- C) √5
- D) √6
- E) √7
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Como AM é mediana relativa ao lado BC, o ponto M é o ponto médio de BC, logo BM = MC = BC/2 = 2 cm. Passo 2: O segmento AM é perpendicular a AB, então o triângulo ABM é retângulo em A, com hipotenusa BM. Passo 3: Pelo teorema de Pitágoras, AB^2 + AM^2 = BM^2, ou seja, AB^2 + 1 = 4, donde AB^2 = 3 e AB = raiz de 3 cm. Passo 4: Para achar AC, use a fórmula da mediana (relação de Stewart simplificada): AM^2 = (2·AB^2 + 2·AC^2 - BC^2)/4. Passo 5: Substituindo os valores, 1 = (2·3 + 2·AC^2 - 16)/4, o que dá 4 = 6 + 2·AC^2 - 16, ou seja, 2·AC^2 = 14 e AC^2 = 7. Passo 6: Logo AC = raiz de 7 cm, alternativa E. Verificação das demais: A (raiz de 2) e D (raiz de 6) não satisfazem a relação da mediana; B (raiz de 3) é o valor de AB, não de AC; C (raiz de 5) decorre de uma relação incorreta entre os lados.
💡 Dica: Use propriedades da mediana e do triângulo retângulo para calcular o lado AC.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente trocou os dados da mediana ou subtraiu valores de forma errada, chegando a AC^2 = 2 sem aplicar corretamente a fórmula da mediana com BC^2 = 16.
O aluno calcula corretamente AB = raiz de 3 pelo triângulo retângulo ABM, mas para na etapa intermediária e marca esse valor, sem usar a mediana para obter AC.
O aluno assume a relação incorreta AC^2 = AB^2 + 2·AM^2 = 3 + 2 = 5, tratando a mediana como se fosse um lado perpendicular adicional.
O aluno supõe que AC = AB·raiz de 2, ou seja, AC^2 = 2·AB^2 = 6, imaginando um triângulo retângulo isósceles que não está dado na questão.
CORRETA. Ao aplicar corretamente o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado por AM, AB e MC, considerando que M é ponto médio de BC, chega-se a AC = √7 cm.
Raio-X da questão
mediana, triângulo, perpendicularidade
avaliacao
propriedades de triângulos · teorema de Pitágoras
Estude propriedades de medianas e triângulos retângulos.
Confundir mediana com altura ou não aplicar corretamente o teorema de Pitágoras.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog