No gráfico acima, os pontos A_n = (4n , y_n), n = 0,1,2,..., estão sobre uma reta e a distância de A_0 a A_1 é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
No gráfico acima, os pontos A_n = (4n , y_n), n = 0,1,2,..., estão sobre uma reta e a distância de A_0 a A_1 é igual a 5. Então a soma y_0 + y_1 + y_2 + ... + y_200 é igual a (Mackenzie 2015)
- A) 61230
- B) 61320
- C) 62130
- D) 62310
- E) 63210
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Os pontos A_n = (4n, y_n) estão sobre uma reta, então y_n varia de forma constante: y_(n+1) - y_n = 4m, em que m é o coeficiente angular da reta. Passo 2: A distância entre A_0 = (0, y_0) e A_1 = (4, y_1) é 5. Pelo teorema de Pitágoras, 4^2 + (y_1 - y_0)^2 = 25, logo (y_1 - y_0)^2 = 9 e y_1 - y_0 = 3 ou -3. Assim y_n = y_0 + 3n (ou y_0 - 3n). Passo 3: O gabarito indica a reta crescente com y_0 = 10, que é o valor inicial lido na figura, então y_n = 10 + 3n. Passo 4: A soma y_0 + ... + y_200 tem 201 termos: soma = 201 x 10 + 3 x (0 + 1 + ... + 200) = 2010 + 3 x 20100 = 2010 + 60300 = 62310. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A) 61230 e B) 61320 são resultados de erro na soma aritmética dos termos; C) 62130 surge ao tratar a soma 0 + 1 + ... + 200 como 20040 em vez de 20100; E) 63210 surge ao usar 20400 como soma dos índices, o que é um erro de cálculo.
💡 Dica: Use a fórmula da distância entre pontos e a equação da reta para encontrar os valores de y_n.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente aplicou corretamente a ideia de progressão, mas errou a soma final dos termos, obtendo um total que não corresponde a 201 x 10 + 3 x 20100.
O aluno acertou o modelo y_n = 10 + 3n, mas cometeu erro de cálculo ao somar os 201 termos, chegando a um valor próximo do correto.
O aluno calculou a soma dos índices 0 + 1 + ... + 200 como 20040 em vez de 20100, o que altera o total em 180.
CORRETA. A razão da PA dos y_n é 3, a soma dos 201 primeiros termos resulta em 62310.
O aluno superestimou a soma dos índices, usando 20400 em vez de 20100, e por isso o total final ficou acima do correto.
Raio-X da questão
progressão aritmética e distância
diagnostico
distância entre pontos · progressão aritmética
estude progressões aritméticas e cálculo de distância entre pontos
Confundir a fórmula da distância entre pontos ou não reconhecer a progressão dos valores y_n.
pensamento_critico
abstrato
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