O número de maneiras distintas de um grupo formado por dois meninos e por cinco meninas posicionar-se lado a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O número de maneiras distintas de um grupo formado por dois meninos e por cinco meninas posicionar-se lado a lado para um “selfie” de tal maneira que cada menino tenha, à sua esquerda e à sua direita, pelo menos uma menina, é (Mackenzie 2015)
- A) 120
- B) 240
- C) 720
- D) 960
- E) 1440
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Interprete a condição. Como cada menino precisa ter uma menina à sua esquerda e outra à sua direita, nenhum menino pode estar em uma extremidade da fila, nem ao lado do outro menino. Com 7 pessoas em fila, os meninos devem ocupar posições de 2 a 6, sem ficar em posições vizinhas. Passo 2: Conte as posições possíveis para os dois meninos. Entre as posições 2, 3, 4, 5 e 6 há C(5,2) = 10 pares de posições. Retirando os 4 pares vizinhos (2 e 3, 3 e 4, 4 e 5, 5 e 6), restam 6 pares válidos. Passo 3: Os dois meninos podem trocar de lugar entre si nessas posições, o que dá 2! = 2 maneiras. Passo 4: As 5 meninas ocupam as 5 posições restantes em 5! = 120 ordens diferentes. Passo 5: Multiplique: 6 x 2 x 120 = 1440. Passo 6: Conclusão: a alternativa correta é a E, 1440, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A (120) está errada porque considera apenas a ordem das meninas. A alternativa B (240) está errada porque usa apenas uma configuração para as posições dos meninos. A alternativa C (720) está errada porque não multiplica pela ordem entre os dois meninos. A alternativa D (960) está errada porque deixa de contar algumas posições válidas dos meninos.
💡 Dica: Considere as posições possíveis para os meninos e calcule as permutações das meninas.
Alternativa por alternativa
Contou apenas a ordem das cinco meninas (5! = 120) e esqueceu de considerar as posições dos meninos e a troca entre eles.
Considerou a troca dos meninos (2!) e a ordem das meninas (5!), mas fixou uma única disposição para os meninos na fila, sem enumerar todas as posições válidas.
Calculou 6 posições para os meninos vezes 120 ordens das meninas, esquecendo que os dois meninos também podem trocar de lugar entre si.
Ao enumerar as posições dos meninos, deixou de incluir algumas configurações válidas, obtendo apenas 4 pares em vez de 6, e depois multiplicou corretamente por 2 e por 120.
CORRETA. Considera todas as restrições: os meninos não podem ficar nas extremidades e não podem ficar juntos, resultando em 1440 arranjos possíveis.
Raio-X da questão
Permutação com restrição
avaliacao
Permutação simples · Princípio multiplicativo
Estude permutação e condições de posicionamento em arranjos.
Confundir as posições possíveis dos meninos e não considerar a restrição de que cada menino deve ter meninas em ambos os lados.
pensamento_critico
abstrato
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