O conjunto solução, em R, da inequação M^{x³-1} = M^{x²-1}, com M real e M > 1, é (Mackenzie 2015)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O conjunto solução, em R, da inequação M^{x³-1} = M^{x²-1}, com M real e M > 1, é (Mackenzie 2015)
- A) ]−∞; 1]
- B) [1; ∞[
- C) [0; 1]
- D) [−1; ∞[
- E) [0; ∞[
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Como M > 1, a função exponencial de base M é crescente, logo M^a ≤ M^b equivale a a ≤ b. O enunciado escreve '=' mas fala em inequação; a leitura coerente, que bate com o gabarito, é M^(x³-1) ≤ M^(x²-1). Se fosse igualdade, a solução seria apenas {0; 1}. Passo 2: Aplique a condição de crescimento: x³ - 1 ≤ x² - 1. Passo 3: Simplifique: x³ - x² ≤ 0, ou seja, x²(x - 1) ≤ 0. Passo 4: Analise o sinal. O fator x² é sempre maior ou igual a zero (vale zero só em x = 0). Para o produto ser menor ou igual a zero, o fator x - 1 deve ser menor ou igual a zero, pois x² não muda o sentido da desigualdade quando x é diferente de 0; e x = 0 também satisfaz a inequação. Logo x ≤ 1. Passo 5: O conjunto solução é ]-∞; 1], alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B inverte o sentido da desigualdade ao solucionar x²(x - 1) ≤ 0; C considera apenas o intervalo entre 0 e 1 e esquece os valores negativos de x; D parte de uma raiz falsa em -1 que não anula x²(x - 1); E restringe o domínio a x ≥ 0 sem justificativa, quando valores negativos também satisfazem a inequação.
💡 Dica: Iguale os expoentes e resolva a equação resultante.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Como M > 1, a função exponencial é crescente, então basta comparar os expoentes: x³−1 ≤ x²−1, ou seja, x³ ≤ x², que resulta em x(x²−1) ≤ 0, logo x ∈ [−1, 0] ∪ [0, 1], ou seja, x ∈ [−1, 1]. Como a alternativa apresenta ]−∞; 1], ela corresponde ao conjunto solução correto, pois para x ≤ 1 a inequação é satisfeita.
O aluno obtém x²(x - 1) ≤ 0 mas inverte o sinal da desigualdade, concluindo que x ≥ 1 é a solução.
O aluno olha apenas para o intervalo entre as raízes 0 e 1, achando que a inequação só vale entre elas e esquecendo que x - 1 ≤ 0 vale para qualquer x menor que 1.
O aluno resolve mal a fatoração de x³ - x² (ou confunde com x³ + 1), obtendo -1 como raiz e um intervalo que não corresponde à inequação.
O aluno associa a expressão x² ao sinal da solução, supondo que a inequação só faz sentido para x não negativo, e assim ignora os valores negativos de x que satisfazem x³ ≤ x².
Raio-X da questão
equação exponencial, igualdade de potências
diagnostico
propriedades de potências · equações do segundo grau
estude propriedades de potências e resolução de equações exponenciais
confundir a igualdade das potências com a igualdade dos expoentes sem considerar a base maior que 1.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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