Se p = 4n e n ? N*, o valor da expressão (1+i)^p / (1-i)^(p-2) é igual a (Mackenzie 2015)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se p = 4n e n ? N*, o valor da expressão (1+i)^p / (1-i)^(p-2) é igual a (Mackenzie 2015)
- A) −2i
- B) 2i
- C) i
- D) −i
- E) 1 − 2i
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Resolvendo por conta própria, use (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i e (1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = -2i. Como p = 4n, escreva (1+i)^p = ((1+i)^2)^(2n) = (2i)^(2n) = 4^n * (i^2)^n = 4^n * (-1)^n. Passo 2: O expoente do denominador é p - 2 = 4n - 2 = 2(2n-1), logo (1-i)^(p-2) = ((1-i)^2)^(2n-1) = (-2i)^(2n-1) = (-2)^(2n-1) * i^(2n-1). Como (-2)^(2n-1) = -2^(2n-1) e i^(2n-1) = i^(2n) * i^(-1) = (-1)^n * (-i), temos (1-i)^(p-2) = 2^(2n-1) * (-1)^n * i. Passo 3: Dividindo, [4^n * (-1)^n] / [2^(2n-1) * (-1)^n * i] = 2^(2n) / (2^(2n-1) * i) = 2/i. Como 1/i = -i, obtemos 2/i = -2i. Passo 4: Conferência com n = 1 (p = 4): (1+i)^4 = (2i)^2 = -4 e (1-i)^2 = -2i, então -4/(-2i) = 2/i = -2i. Passo 5: Comparação com o gabarito: o resultado é -2i, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: B) 2i tem o sinal trocado, pois 2/i é -2i e não 2i; C) i tem módulo 1, enquanto o resultado tem módulo 2; D) -i também tem módulo 1 e não corresponde ao resultado; E) 1 - 2i tem parte real não nula, o que não ocorre no resultado.
💡 Dica: Simplifique a expressão usando propriedades de potências e números complexos.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Ao calcular as potências e simplificar a expressão, chega-se ao resultado −2i.
Assume que 1/i = i, ou seja, erra o inverso de i e inverte o sinal do resultado final, obtendo 2i em vez de -2i.
Simplifica as potências de 2 e de 4 de forma incorreta, perdendo o fator 2 e chegando a apenas i, com módulo 1 em vez de 2.
Calcula corretamente o inverso de i como -i, mas esquece o fator 2 do numerador ao cortar as potências, chegando a -i.
Expande (1-i)^2 esquecendo o termo i^2 = -1 e obtém 1 - 2i, em vez de -2i, misturando o resultado com a expansão incompleta.
Raio-X da questão
potências de números complexos
diagnostico
potências de números complexos · propriedades de potências
estude propriedades de potências e números complexos
Confundir a simplificação das potências ou esquecer regras de sinais em números complexos.
pensamento_critico
abstrato
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