O valor de (x + y), com x e y reais positivos, tais que { 5 · log5 x - log5 xy = log5 4 log5 (x²/y) = 0 }, é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O valor de (x + y), com x e y reais positivos, tais que { 5 · log5 x - log5 xy = log5 4 log5 (x²/y) = 0 }, é (Mackenzie 2015)
- A) 2
- B) 4
- C) 6
- D) 8
- E) 10
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Use a propriedade do logaritmo de potência na primeira equação: 5·log5 x = log5 x^5. Passo 2: Reescreva log5(xy) = log5 x + log5 y. A equação fica log5 x^5 - log5 x - log5 y = log5 4, ou seja, log5 (x^5/(x·y)) = log5 4, que simplifica para log5 (x^4/y) = log5 4. Como o logaritmo é injetivo, x^4/y = 4. Passo 3: Na segunda equação, log5 (x²/y) = 0 significa x²/y = 1 (já que log5 1 = 0), logo y = x². Passo 4: Substitua y = x² na equação x^4/y = 4: x^4/x² = 4, isto é, x² = 4. Como x é positivo, x = 2. Passo 5: Então y = x² = 4. Verificação: x^4/y = 16/4 = 4 e x²/y = 4/4 = 1, ambas corretas. Portanto x + y = 2 + 4 = 6, alternativa C, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A (2) é apenas o valor de x, não da soma; B (4) é apenas o valor de y; D (8) e E (10) não correspondem à solução do sistema, que é única com x = 2 e y = 4.
💡 Dica: Use propriedades dos logaritmos para resolver o sistema e encontrar x + y.
Alternativa por alternativa
O aluno resolve corretamente até encontrar x = 2, mas responde com o valor de x em vez de calcular x + y. Ele esquece que a pergunta pede a soma dos dois valores.
O aluno encontra y = 4 e para aí, respondendo com o valor de y em vez da soma x + y. É um descuido de leitura do enunciado, que pede x + y.
CORRETA. Ao resolver o sistema usando as propriedades dos logaritmos, encontra-se x = 2 e y = 4, portanto x + y = 6.
O aluno provavelmente erra ao manipular a primeira equação, por exemplo tratando 5·log5 x como log5 x^5 mas depois elevando ou somando errado, ou usando y = 2x em vez de y = x². Com isso chega a valores como x = 2 e y = 6 e soma 8.
O aluno confunde a propriedade da potência do logaritmo, por exemplo lendo log5 (x²/y) = 0 como x²/y = 0 ou aplicando mal a relação entre x e y, e obtém valores que somam 10, como x = 2 e y = 8.
Raio-X da questão
logaritmos e sistemas
avaliacao
propriedades dos logaritmos · resolução de sistemas lineares
Estude propriedades dos logaritmos e resolução de sistemas de equações.
Confundir propriedades dos logaritmos ou esquecer que x e y são positivos, levando a soluções inválidas.
pensamento_critico
abstrato
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