Fazendo-se a planificação de um cone de altura 15 cm, observa-se que sua superfície lateral é um setor…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Fazendo-se a planificação de um cone de altura 15 cm, observa-se que sua superfície lateral é um setor circular, cujo ângulo central mede 4p/3 radianos. Então, o volume do cone, em cm³, é (Mackenzie 2015)
- A) 500π
- B) 900π
- C) 1500π
- D) 2025π
- E) 2700π
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- A planificação da superfície lateral de um cone é um setor circular de raio igual à geratriz g (distância do vértice a um ponto da borda da base). O comprimento do arco desse setor é igual ao perímetro da base, 2πr, sendo r o raio da base.
- O ângulo central do setor é 4π/3 radianos. Como a circunferência completa tem 2π radianos, o setor corresponde à fração (4π/3)/(2π) = 2/3 do círculo inteiro. Logo, o arco do setor é (2/3)(2πg) = 4πg/3.
- Igualando os comprimentos: 2πr = 4πg/3, o que dá r = 2g/3, ou seja, g = 3r/2.
- Pelo teorema de Pitágoras no triângulo formado por r, altura h e geratriz g: g² = r² + h². Substituindo h = 15 e g = 3r/2: 9r²/4 = r² + 225, então 5r²/4 = 225 e r² = 180.
- O volume do cone é V = (1/3)πr²h = (1/3)π·180·15 = 900π cm³.
- Conferindo com as alternativas, a resposta correta é a B, que coincide com o gabarito oficial. A alternativa A está errada porque, sem a relação de Pitágoras, substitui a geratriz por 15 e chega a r = 10. A alternativa C está errada porque obtém r² = 300, resultado de uma relação incorreta entre o arco e o raio. A alternativa D está errada porque desconsidera a proporção entre raio e geratriz, trocando os papéis de raio e altura. A alternativa E está errada porque esquece o fator 1/3 da fórmula do volume do cone.
💡 Dica: Use a relação entre o setor circular e a geratriz para encontrar o raio da base e calcule o volume.
Alternativa por alternativa
Tomou a geratriz do setor como sendo a altura de 15 cm, e assim obteve r = 2/3 de 15 = 10 cm, sem usar o teorema de Pitágoras para relacionar altura, raio e geratriz.
CORRETA. Ao determinar o raio da base a partir da planificação e aplicar corretamente a fórmula do volume do cone, chega-se a 900π cm³.
Estabeleceu incorretamente a relação entre o arco do setor e o raio da base, chegando a r² = 300, o que não respeita a igualdade entre o comprimento do arco e o perímetro da base.
Trocou os papéis de raio e altura ao aplicar as relações do cone, resultando em um volume que não corresponde às dimensões obtidas pela planificação.
Calculou corretamente r² = 180, mas esqueceu o fator 1/3 da fórmula do volume do cone, usando π·r²·h diretamente e obtendo 2700π.
Raio-X da questão
volume de cone, setor circular
avaliacao
volume de cone · propriedades de setores circulares
estude volume de cones e propriedades de setores circulares
Confundir o ângulo do setor com o ângulo da base ou esquecer de relacionar o setor com a geratriz do cone.
pensamento_critico
abstrato
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