O conjunto solução da inequação cos4x - sen4x < 1/2, no intervalo [0, p], é (Mackenzie 2015)

Questão

O conjunto solução da inequação cos4x - sen4x < 1/2, no intervalo [0, p], é (Mackenzie 2015)

1. A) S = ∅
2. B) S = { x ∈ IR / π/6 < x < 5π/6 }
3. C) S = { x ∈ IR / π/3 < x < 2π/3 }
4. D) S = { x ∈ IR / 0 < x < π/6 ∨ 5π/6 < x < π }
5. E) S = { x ∈ IR / 0 ≤ x < π/6 ∨ 5π/6 < x ≤ π }

✅ Resposta correta: alternativa B

Resolução passo a passo

1. Reescreva a expressão usando a diferença de quadrados: cos^4 x - sen^4 x = (cos^2 x - sen^2 x)(cos^2 x + sen^2 x). Como cos^2 x + sen^2 x = 1, resta cos^2 x - sen^2 x = cos 2x. Assim a inequação fica cos 2x < 1/2. Passo 2: Faça t = 2x. Como x está em [0, π], t está em [0, 2π]. Passo 3: No intervalo [0, 2π], cos t < 1/2 ocorre para π/3 < t < 5π/3, pois cos t = 1/2 em t = π/3 e t = 5π/3, e o cosseno é menor que 1/2 entre esses valores. Passo 4: Voltando para x = t/2, obtemos π/6 < x < 5π/6, que está contido em [0, π]. Logo S = { x ∈ IR / π/6 < x < 5π/6 }, que é a alternativa B, em acordo com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: A afirma que não há solução, mas x = π/2 satisfaz, pois cos π = -1 < 1/2. C usa o intervalo de cos x < 1/2 em módulo, o que não corresponde à inequação com cos 2x. D inverte o sentido da desigualdade, descrevendo a região onde cos 2x > 1/2. E inclui os extremos 0 e π, mas em x = 0 temos cos 0 = 1, que não é menor que 1/2, e em x = π temos cos 2π = 1, também excluído.

💡 Dica: Use identidades trigonométricas para simplificar e resolver a inequação.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão