Sejam f: R ? R e g: R ? R funções definidas por f(x) = (2^x + 2^(-x))/2 e g(x) = (2^x - 2^(-x))/2. Então…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Sejam f: R ? R e g: R ? R funções definidas por f(x) = (2^x + 2^(-x))/2 e g(x) = (2^x - 2^(-x))/2. Então, podemos afirmar que (Mackenzie 2015)
- A) f é crescente e g é decrescente.
- B) f e g se interceptam em x = 0.
- C) f(0) = -g(0).
- D) [f(x)]² - [g(x)]² = 1.
- E) f(x) ≥ 0 e g(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R.
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Seja a = 2^x e b = 2^(-x). Então f(x) = (a + b)/2 e g(x) = (a - b)/2, com a·b = 2^x · 2^(-x) = 1 para todo x real.
- Calcule [f(x)]² - [g(x)]² = [(a + b)² - (a - b)²]/4 = [4ab]/4 = ab = 1. Logo a alternativa D é verdadeira para todo x real.
- Alternativa A é falsa. g(x) = (2^x - 2^(-x))/2 é crescente, pois 2^x cresce e -2^(-x) também cresce. Já f não é crescente em R: para x < 0 ela decresce e para x > 0 ela cresce, por exemplo f(-1) = 1,25, f(0) = 1 e f(1) = 1,25.
- Alternativa B é falsa. f(0) = (1 + 1)/2 = 1 e g(0) = (1 - 1)/2 = 0, então os gráficos não se cruzam em x = 0.
- Alternativa C é falsa. f(0) = 1, enquanto -g(0) = 0. Logo f(0) é diferente de -g(0).
- Alternativa E é falsa. g(-1) = (1/2 - 2)/2 = -0,75 é negativo, ou seja, g não é sempre não negativa.
- Conclusão: a única afirmação verdadeira é a D, o que coincide com o gabarito oficial.
💡 Dica: Utilize propriedades de funções exponenciais para simplificar e comparar f(x) e g(x).
Alternativa por alternativa
Supõe que f é crescente porque ela contém 2^x, ignorando que a soma com 2^(-x) faz a função decrescer para x negativo. Também pode ter visto o sinal de menos em g e concluído erradamente que g é decrescente.
Acredita que f(0) e g(0) são iguais, provavelmente por erro no cálculo de 2^0 ou por achar que ambas as funções passam pela origem. Não calcula de fato f(0) = 1 e g(0) = 0.
Imagina que f e g são simétricas em relação ao zero, o que levaria a f(0) = -g(0). Não percebe que f(0) = 1 e g(0) = 0, e que a relação de simetria vale apenas para os termos de sinal oposto em g.
CORRETA. Desenvolvendo [f(x)]² - [g(x)]², obtemos 1, pois [(2^x + 2^{-x})/2]^2 - [(2^x - 2^{-x})/2]^2 = 1.
Acha que, como 2^x é sempre positivo, a diferença 2^x - 2^(-x) também é sempre positiva. Esquece que para x negativo o termo 2^(-x) é maior, tornando g negativa.
Raio-X da questão
funções exponenciais e hiperbólicas
diagnostico
funções exponenciais · propriedades de potências
Estude propriedades de funções exponenciais e identidades hiperbólicas.
Confundir as funções dadas com funções trigonométricas comuns ou não aplicar corretamente as propriedades das potências.
pensamento_critico
abstrato
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