O número de polígonos convexos distintos que podemos formar, com vértices nos pontos de coordenadas (0, 0)…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O número de polígonos convexos distintos que podemos formar, com vértices nos pontos de coordenadas (0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (2, 0), (2, 1), (2, 2) e (2, 3), do plano, é (Mackenzie 2015)
- A) 101
- B) 84
- C) 98
- D) 100
- E) 48
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Os 8 pontos estão em duas retas verticais paralelas: x = 0, com (0,0), (0,1), (0,2), (0,3), e x = 2, com (2,0), (2,1), (2,2), (2,3). Um polígono convexo tem no máximo 2 vértices sobre a mesma reta, pois três pontos alinhados não podem ser todos vértices de um polígono convexo.
- Como o polígono precisa de pelo menos 3 vértices, as possibilidades são: 2 pontos em x = 0 e 1 em x = 2; 1 em x = 0 e 2 em x = 2; ou 2 em cada reta.
- Caso 2 + 1: escolhem-se 2 dos 4 pontos de x = 0 (C(4,2) = 6 modos) e 1 dos 4 de x = 2 (4 modos). Resultam 6 x 4 = 24 triângulos, todos não degenerados, pois o ponto da outra reta não fica sobre a reta que contém os outros dois.
- Caso 1 + 2: de forma análoga, 4 x 6 = 24 triângulos.
- Caso 2 + 2: escolhem-se 2 pontos em cada reta, 6 x 6 = 36 modos. Os dois segmentos estão em retas paralelas, formando sempre um trapézio, que é um quadrilátero convexo. Logo, são 36 quadriláteros.
- Total = 24 + 24 + 36 = 84 polígonos convexos distintos. Isso confirma a alternativa B, que é o gabarito oficial.
- Alternativa A (101): a contagem parece ter incluído conjuntos de pontos com três vértices alinhados ou outras combinações que não formam polígonos convexos válidos. Alternativa C (98): a contagem parece ter incluído conjuntos degenerados, sem verificar a convexidade. Alternativa D (100): a soma parece ter usado combinações sem descontar os casos inválidos. Alternativa E (48): considera apenas os triângulos (24 + 24) e esquece os quadriláteros do caso 2 + 2.
💡 Dica: Analise as combinações de pontos e verifique quais formam polígonos convexos.
Alternativa por alternativa
Provavelmente contou combinações de pontos sem excluir ternos alinhados sobre as retas x = 0 e x = 2, que não formam triângulos. Também pode ter somado conjuntos inválidos sem checar a convexidade.
CORRETA. Considera todas as combinações possíveis de vértices que formam polígonos convexos distintos, respeitando as restrições do problema.
Aparentemente incluiu conjuntos de vértices que não definem polígonos convexos válidos, como três pontos colineares, sem fazer a verificação exigida pelo enunciado.
Provavelmente fez uma soma de combinações sem separar corretamente os casos (2+1, 1+2 e 2+2) e errou no cálculo ou na exclusão dos conjuntos degenerados.
Considerou apenas os triângulos (24 + 24 = 48) e esqueceu que dois pontos em cada uma das retas paralelas também formam um quadrilátero convexo (trapézio), que deve ser contado.
Raio-X da questão
polígonos convexos e combinatória
avaliacao
combinatória básica · propriedades de polígonos convexos
Estude propriedades de polígonos convexos e técnicas de contagem combinatória.
Confundir polígonos convexos com côncavos ou contar polígonos repetidos.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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