A soma das raízes da equação cos 2x + cos 4x = 0, no intervalo [0, p], é (Mackenzie 2015)

Questão

A soma das raízes da equação cos 2x + cos 4x = 0, no intervalo [0, p], é (Mackenzie 2015)

1. A) 0
2. B) π/2
3. C) π
4. D) 3π/2
5. E) 2π/3

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Use a identidade cos p + cos q = 2 cos((p+q)/2) cos((p-q)/2). Com p = 4x e q = 2x, temos (p+q)/2 = 3x e (p-q)/2 = x. Assim, cos 2x + cos 4x = 2 cos 3x cos x = 0. Passo 2: O produto é zero quando cos x = 0 ou cos 3x = 0. Passo 3: cos x = 0 no intervalo [0, π] dá apenas x = π/2. Passo 4: cos 3x = 0 significa 3x = π/2 + kπ, logo x = π/6 + kπ/3. Para k = 0, 1, 2 obtemos x = π/6, π/2 e 5π/6; para k = 3 obtemos 7π/6, que está fora do intervalo. Passo 5: A raiz π/2 aparece nos dois fatores, mas deve ser contada uma única vez. As raízes distintas são π/6, π/2 e 5π/6. Passo 6: Verificação: para x = π/6, cos(π/3) + cos(2π/3) = 1/2 - 1/2 = 0, o que confirma a raiz. Passo 7: A soma é π/6 + π/2 + 5π/6 = (1 + 3 + 5)π/6 = 9π/6 = 3π/2, que é a alternativa D, igual ao gabarito oficial. Passo 8: Por que as outras estão erradas: A) 0 não é a soma, pois todas as raízes são positivas; B) π/2 é apenas uma das raízes; C) π resulta de somar só π/6 e 5π/6, sem π/2; E) 2π/3 resulta de somar π/6 e π/2, sem 5π/6.

💡 Dica: Use identidades trigonométricas para encontrar as raízes e some-as.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão