Na figura acima, as circunferências ?1 e ?2 são tangentes no ponto C e tangentes à reta r nos pontos E e F…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
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Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na figura acima, as circunferências ?1 e ?2 são tangentes no ponto C e tangentes à reta r nos pontos E e F, respectivamente. Os centros, O1 e O2, das circunferências pertencem à reta s. Sabe-se que r e s se interceptam no ponto A, formando um ângulo de 30º. Se AE mede 2v3 cm, então os raios das circunferências ?1 e ?2 medem, respectivamente, Os raios das circunferências ?1 e ?2 medem, respectivamente, (Mackenzie 2015)
- A) √3 cm e √15 cm
- B) √3 cm e 2 cm
- C) 2 cm e 6 cm
- D) 2 cm e 4 cm
- E) 2√3 cm e 4 cm
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- O raio de uma circunferência é perpendicular à tangente no ponto de tangência. No triângulo retângulo formado por A, E e O1, o ângulo em A é 30º, o cateto AE é adjacente a esse ângulo e o cateto O1E é o raio r1. Logo, tan 30º = r1/AE, ou seja, r1 = AE · tan 30º = 2√3 · (√3/3) = 2 cm.
- Ainda no mesmo triângulo retângulo, a hipotenusa AO1 vale r1/sen 30º = 2 · r1 = 4 cm.
- As circunferências são tangentes externamente em C, com centros alinhados sobre s. Assim, a distância entre os centros é O1O2 = r1 + r2 = 2 + r2.
- Como O1 está entre A e O2 na reta s, temos AO2 = AO1 + O1O2 = 4 + (2 + r2) = 6 + r2.
- Para a segunda circunferência, o mesmo raciocínio vale: AO2 = r2/sen 30º = 2r2. Igualando, 6 + r2 = 2r2, então r2 = 6 cm.
- Conclusão: os raios são 2 cm e 6 cm, alternativa C. A alternativa A está errada porque trata AE como 2r1, o que daria r1 = √3 e não considera a relação correta com a tangente de 30º. A alternativa B tem o mesmo erro no primeiro raio e um segundo valor que não respeita a condição de tangência. A alternativa D acerta o primeiro raio, mas esquece que O1O2 = r1 + r2 e usa apenas r2 na distância entre os centros. A alternativa E toma AE diretamente como raio, confundindo segmento tangente com raio.
💡 Dica: Use propriedades de tangência e trigonometria para calcular os raios.
Alternativa por alternativa
Considerou que AE = 2r1, obtendo r1 = √3, e aplicou uma relação de tangente sem levar em conta o ângulo de 30º e o triângulo retângulo formado com o raio.
Obteve r1 = √3 ao dividir AE por 2 como se AE fosse o diâmetro, e escolheu um segundo raio de 2 cm sem verificar a condição de tangência entre as circunferências.
CORRETA. O raio menor é 2 cm (AE = r1/sen30° → 2√3 = r1/0,5 → r1 = 2 cm) e o raio maior é 6 cm (r2 = r1 + distância entre centros = 2 + 4 = 6 cm).
Calculou corretamente r1 = 2 cm, mas na distância entre os centros usou O1O2 = r2, esquecendo que O1O2 = r1 + r2, e chegou a AO2 = 4 + r2 = 2r2, logo r2 = 4.
Tomou o segmento AE = 2√3 cm diretamente como raio da primeira circunferência, confundindo a medida da tangente com o raio, que é perpendicular à reta r.
Raio-X da questão
tangência, circunferência, trigonometria
avaliacao
propriedades de circunferências · trigonometria básica
Estude propriedades de circunferências tangentes e relações trigonométricas em triângulos.
Confundir pontos de tangência e aplicar incorretamente relações trigonométricas.
pensamento_critico
abstrato
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