Se i é a unidade imaginária e M = [ (1+i)^-1 b ; i-2 -2a ] tem determinante igual a 3i, os valores de a e b…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se i é a unidade imaginária e M = [ (1+i)^-1 b ; i-2 -2a ] tem determinante igual a 3i, os valores de a e b são, respectivamente, (Mackenzie 2015)
- A) 6 e 3
- B) 3 e 1
- C) 0 e 6
- D) 2 e 4
- E) 4 e 2
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule o inverso de (1+i). Como (1+i)^-1 = 1/(1+i), multiplique numerador e denominador pelo conjugado 1-i: (1-i)/((1+i)(1-i)) = (1-i)/2. Logo (1+i)^-1 = 1/2 - i/2.
- Escreva o determinante de M. Para uma matriz 2x2 [p q; r s], det = ps - qr. Aqui p = (1+i)^-1, q = b, r = i-2 e s = -2a, então det = (1+i)^-1 . (-2a) - b(i-2).
- Substitua o inverso: (1-i)/2 . (-2a) = -a(1-i) = -a + ai. Assim det = -a + ai - bi + 2b = (2b - a) + (a - b)i.
- Iguale ao determinante dado, 3i = 0 + 3i. Comparando parte real e parte imaginária: 2b - a = 0 e a - b = 3.
- Resolva o sistema. Da primeira equação, a = 2b. Substituindo na segunda: 2b - b = 3, então b = 3 e a = 6.
- Conclusão: a = 6 e b = 3, que é a alternativa A, de acordo com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: B (a=3, b=1) não satisfaz 2b - a = 0, pois 2 - 3 = -1. C (a=0, b=6) gera parte real 12, diferente de zero. D (a=2, b=4) gera parte real 6, diferente de zero. E (a=4, b=2) satisfaz 2b - a = 0, mas dá parte imaginária a - b = 2, e não 3.
💡 Dica: Calcule o determinante da matriz e iguale a 3i para encontrar a e b.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Ao calcular o determinante da matriz e resolver as equações com números complexos, obtém-se a = 6 e b = 3.
Trocou ou ignorou a estrutura do determinante e não montou corretamente a parte real, obtendo 2b - a = -1 em vez de zero.
Assumiu que a parte real deveria ser anulada por a = 0 sem fazer o cálculo completo, ignorando que o termo 2b não se anula com b = 6.
Tratou o inverso (1+i)^-1 de forma incorreta, sem racionalizar pelo conjugado, e por isso obteve uma parte real não nula.
Acertou a parte real (2b - a = 0), mas errou o cálculo da parte imaginária, obtendo a - b = 2 em vez de 3, provavelmente por erro de sinal no termo -ai ou -bi.
Raio-X da questão
determinante matriz números complexos
avaliacao
operações com números complexos · cálculo de determinantes
estude cálculo de determinantes e operações com números complexos
confundir a operação de inverso de número complexo e erro no cálculo do determinante da matriz.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog