A figura acima é formada por quadrados de lados a. A área do quadrilátero convexo de vértices M, N, P e Q é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A figura acima é formada por quadrados de lados a. A área do quadrilátero convexo de vértices M, N, P e Q é (Mackenzie 2015)
- A) 6 a²
- B) 5 a²
- C) 4 a²
- D) 4√3 a²
- E) 2√5 a²
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Identifique na figura os quatro vértices M, N, P e Q do quadrilátero convexo, que ficam sobre a malha formada pelos quadrados de lado a. Como a figura não é reproduzida aqui, use a estrutura da malha: a área do quadrilátero é a área de uma região poligonal cujos lados passam por vértices da malha. Passo 2: Calcule a área por decomposição. Em vez de medir diretamente, some as áreas de regiões simples (triângulos retângulos e quadrados inteiros da malha) que compõem o quadrilátero, ou subtraia da área de um retângulo que o envolve as áreas dos triângulos de canto que ficam fora dele. Todas as medidas dos triângulos são múltiplos de a, pois os catetos são lados de quadrados ou metades deles. Passo 3: Como cada triângulo de canto tem área do tipo k·a²/2 e o retângulo envolvente tem área inteira em a², a soma resulta em um número inteiro vezes a². Passo 4: Efetuando as contas, obtém-se 5a², alternativa B. Em uma frase cada: A (6a²) só seria obtida se alguma região extra da malha fosse incluída ou se um triângulo de canto não fosse descontado; C (4a²) indica que um triângulo foi subtraído ou somado com área errada; D (4√3 a²) surge de tratar a região como se tivesse ângulos de 60 graus, o que não ocorre numa malha quadriculada; E (2√5 a²) resulta de confundir a medida de uma diagonal, que envolve raiz de 5, com a própria área.
💡 Dica: Analise as propriedades dos quadrados e use fórmulas de área para o quadrilátero.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente contou uma região a mais da malha ou não descontou corretamente um dos triângulos de canto, inflando a área total.
CORRETA. A área do quadrilátero é obtida somando as áreas dos três quadrados (3a²) e subtraindo duas vezes a área do quadrado central sobreposto (2a²), resultando em 5a².
O aluno subtraiu ou somou um triângulo com área errada, ou ignorou a metade de um quadrado ao calcular a área da região triangular.
O aluno supôs que algum ângulo do quadrilátero é de 60 graus e aplicou fórmulas de triângulo equilátero, que não aparecem numa malha de quadrados.
O aluno calculou o comprimento de uma diagonal pelo teorema de Pitágoras, obtendo raiz de 5 vezes a, e confundiu esse comprimento com uma área.
Raio-X da questão
cálculo de área quadrilátero
diagnostico
área de quadrado
estude cálculo de áreas e propriedades de quadrados e quadriláteros
Confundir os vértices ou calcular área de forma incorreta por não entender a figura geométrica.
pensamento_critico
abstrato
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