Se A = [1 1 0; 0 1 0; 0 0 1], B = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1], C = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 0] e os inteiros x e y são…

Questão

Se A = [1 1 0; 0 1 0; 0 0 1], B = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 1], C = [0 0 0; 0 0 0; 0 0 0] e os inteiros x e y são tais que A² + x·A + y·B = C, então (Mackenzie 2015)

1. A) x = 0
2. B) x = 1
3. C) x = -2
4. D) x = -1
5. E) x = 2

✅ Resposta correta: alternativa C

Resolução passo a passo

1. Calcule A^2 multiplicando a matriz A por ela mesma. A = [1 1 0; 0 1 0; 0 0 1], logo A^2 = [1 2 0; 0 1 0; 0 0 1]. Atenção: a entrada (1,2) de A^2 é 2, pois é a soma 1·1 + 1·1.
2. Escreva a equação A^2 + x·A + y·B = C, onde C é a matriz nula. Cada entrada precisa dar zero. Na entrada (1,2), A^2 contribui com 2, x·A contribui com x·1 e y·B contribui com 0 (B é diagonal). Então 2 + x = 0, o que dá x = -2.
3. Para confirmar, na entrada (1,1) temos 1 + x + y = 0. Com x = -2, obtemos y = 1. Nas entradas (2,2) e (3,3) a conta também fecha: 1 + x + y = 0. Logo o par (x, y) = (-2, 1) satisfaz a matriz inteira, e a alternativa correta é a C.
4. Por que as outras estão erradas. A (x = 0) só funciona se a entrada (1,2) de A^2 fosse zero, o que não é verdade. B (x = 1) vem de um erro de sinal ao isolar x. D (x = -1) surge se a entrada (1,2) de A^2 for tomada como 1, como em um cálculo elemento a elemento. E (x = 2) aparece ao trocar o sinal da equação 2 + x = 0 por 2 - x = 0.

💡 Dica: Calcule A² e iguale os termos para encontrar x e y.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão