Há duas circunferências secantes ?1 e ?2, de equações (x – 1)² + y² = 5 e (x – 3)² + (y – 2)² = 1…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Há duas circunferências secantes ?1 e ?2, de equações (x – 1)² + y² = 5 e (x – 3)² + (y – 2)² = 1, respectivamente. A equação da reta que passa pelos pontos de interseção de ?1 e ?2 é (Mackenzie 2015)
- A) x + y – 4 = 0
- B) x + y + 4 = 0
- C) x – y – 6 = 0
- D) x + y + 8 = 0
- E) x – y – 8 = 0
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Desenvolva a primeira equação: (x – 1)² + y² = 5 resulta em x² + y² – 2x – 4 = 0.
- Desenvolva a segunda equação: (x – 3)² + (y – 2)² = 1 resulta em x² + y² – 6x – 4y + 12 = 0.
- Subtraia a segunda equação da primeira para eliminar os termos quadráticos: (x² + y² – 2x – 4) – (x² + y² – 6x – 4y + 12) = 0, o que dá 4x + 4y – 16 = 0, ou seja, x + y – 4 = 0. Essa é a equação da reta que passa pelos pontos de interseção (eixo radical).
- Verifique resolvendo o sistema formado por x + y = 4 e (x – 1)² + y² = 5. Substituindo y = 4 – x, obtém-se x² – 5x + 6 = 0, com raízes x = 2 e x = 3. Os pontos são (2, 2) e (3, 1).
- Confirme que os pontos pertencem à segunda circunferência: para (2, 2), (2 – 3)² + (2 – 2)² = 1; para (3, 1), (3 – 3)² + (1 – 2)² = 1. Ambos satisfazem a equação.
- Conclusão: a alternativa correta é a A, em concordância com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a B tem termo constante de sinal incorreto; a C tem sinal trocado no termo em y; a D tem constante errada; a E não corresponde à diferença correta entre as equações.
💡 Dica: Use a subtração das equações para encontrar a reta dos pontos de interseção.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Subtraindo as equações das circunferências, obtemos x + y - 4 = 0, que é a equação da reta radical que passa pelos pontos de interseção.
Errou o sinal do termo constante ao subtrair as equações, tratando –4 – 12 como se fosse +4 ou perdendo o sinal de negativo ao passar termos de um lado para o outro.
Inverteu o sinal do termo em y ao subtrair as equações, ou seja, tratou –4y como +4y e manteve a constante sem o devido ajuste.
Calculou a constante final incorretamente (obteve +8 em vez de –4), possivelmente somando termos constantes em vez de subtraí-los.
Trocou o sinal do termo em y e errou a constante, chegando a uma reta que não é a diferença das equações; ao confundir a reta radical com outra reta, perde a relação correta entre os coeficientes.
Raio-X da questão
interseção de circunferências
diagnostico
equação da circunferência · equação da reta
estude equações de circunferências e retas
Confundir a equação da reta com a equação da circunferência ou não aplicar a subtração correta das equações.
pensamento_critico
abstrato
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