Se os números 3, A e B, nessa ordem, estão em progressão aritmética e os números 3, A – 6 e B, nessa ordem…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se os números 3, A e B, nessa ordem, estão em progressão aritmética e os números 3, A – 6 e B, nessa ordem, estão em progressão geométrica, então o valor de A é (Mackenzie 2015)
- A) 12
- B) 15
- C) 18
- D) 21
- E) 24
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Na progressão aritmética 3, A, B, a razão é constante, então A - 3 = B - A, ou seja, B = 2A - 3.
- Na progressão geométrica 3, A - 6, B, a razão é constante, então (A - 6)^2 = 3B. Essa é a propriedade do termo central: o quadrado do termo do meio é igual ao produto dos extremos.
- Substitua B = 2A - 3 na equação da PG: A^2 - 12A + 36 = 6A - 9, que dá A^2 - 18A + 45 = 0.
- Resolva a equação do 2º grau por Bhaskara ou soma e produto: as raízes são A = 3 e A = 15 (soma 18 e produto 45).
- Verifique as duas raízes. Para A = 15, temos B = 27 e a PG 3, 9, 27 tem razão 3, que é válida. Para A = 3, temos B = 3 e a PG 3, -3, 3 tem razão -1, que também é válida matematicamente, mas o valor 3 não aparece entre as alternativas.
- Logo, o valor de A entre as alternativas é 15, alternativa B, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) 12 não satisfaz (A - 6)^2 = 3(2A - 3), pois (6)^2 = 36 e 3(21) = 63; C) 18 leva a B = 33 e a PG 3, 12, 33, que não tem razão constante; D) 21 leva a B = 39 e a PG 3, 15, 39, que também não é geométrica; E) 24 leva a B = 45 e a PG 3, 18, 45, cuja razão não é constante (6 e 2,5).
💡 Dica: Use as definições de progressão aritmética e geométrica para montar equações e resolver.
Alternativa por alternativa
Provavelmente ignorou o deslocamento do termo do meio na PG, tratando A - 6 como se fosse A ou dividindo mal a equação, e chegou a um valor que não verifica as duas condições.
CORRETA. Ao montar as equações das progressões e resolver o sistema, encontra-se A = 15.
Ao montar a condição de progressão geométrica, errou a expansão do quadrado (A - 6)^2 ou não substituiu B pela expressão da PA, o que gera uma equação falsa para A = 18.
Errou o sinal ao resolver a equação do 2º grau ou na soma dos termos (por exemplo, usando 18 + 3 em vez de 18 - 3), chegando a A = 21, que não satisfaz a condição de PG.
Confundiu a condição de progressão geométrica com a de progressão aritmética ou tomou a média dos extremos como o termo central, levando a um valor que não gera uma PG de razão constante.
Raio-X da questão
progressão aritmética e geométrica
diagnostico
progressão aritmética · progressão geométrica
Estude as propriedades e fórmulas de progressões aritméticas e geométricas.
Confundir as propriedades das progressões aritmética e geométrica, aplicando fórmulas erradas ou trocando os termos.
pensamento_critico
abstrato
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