Seja P(x) = 2x³ - 11x² + 17x - 6 um polinômio do 3º grau e 2x - 1 um de seus fatores. A média aritmética das…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja P(x) = 2x³ - 11x² + 17x - 6 um polinômio do 3º grau e 2x - 1 um de seus fatores. A média aritmética das raízes de P(x) é (Mackenzie 2015)
- A) 7/2
- B) 8/2
- C) 9/2
- D) 10/2
- E) 11/6
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Procure a raiz do fator 2x - 1. Ela é x = 1/2. Substituindo em P(x): 2(1/8) - 11(1/4) + 17(1/2) - 6 = 0,25 - 2,75 + 8,5 - 6 = 0. Logo 1/2 é raiz e 2x - 1 é fator de P(x).
- Divida P(x) por 2x - 1. Escrevendo P(x) = (2x - 1)(x² + ax + b) e comparando coeficientes: o termo independente dá -b = -6, logo b = 6; o termo em x² dá 2a - 1 = -11, logo a = -5. Confira no termo em x: 2b - a = 12 + 5 = 17, que bate com o coeficiente original. Assim o quociente é x² - 5x + 6.
- Fatore o quociente: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Portanto as raízes de P(x) são 1/2, 2 e 3.
- Calcule a média aritmética: (1/2 + 2 + 3)/3 = (11/2)/3 = 11/6. Essa é a média pedida, que corresponde à alternativa E.
- Por que as outras estão erradas. A) 7/2 não é a média de nenhum conjunto correto de raízes dessa equação. B) 8/2 seria obtido com erro na soma das raízes ou na contagem delas. C) 9/2 não coincide com a soma nem com a média das raízes. D) 10/2 também resulta de soma ou divisão incorretas. Concordo com o gabarito oficial E.
💡 Dica: Use a relação entre coeficientes e raízes do polinômio para calcular a média.
Alternativa por alternativa
Provavelmente errou o cálculo das raízes ou a soma delas e não dividiu corretamente pelo número de raízes, que é três. O resultado 7/2 não corresponde a nenhuma combinação correta das raízes 1/2, 2 e 3.
Provavelmente tratou a média como soma das raízes dividida por 2, em vez de por 3, ou errou ao encontrar uma das raízes. Confundiu o número de raízes com o grau do polinômio ou com o número de fatores quadráticos.
Provavelmente somou as raízes com erro, ou usou apenas dois valores em vez das três raízes do polinômio. Assim obteve um resultado com denominador 2 que não é a média correta.
Provavelmente considerou apenas o fator quadrático ou trocou o divisor pela metade, obtendo uma média com denominador 2. Não levou em conta que o polinômio tem três raízes, incluindo a raiz 1/2 do fator 2x - 1.
CORRETA. A soma das raízes de P(x) é 11/2, e a média aritmética é (11/2)/3 = 11/6.
Raio-X da questão
raízes e coeficientes polinômios
diagnostico
polinômios do 3º grau · fatores de polinômios
Estude a relação entre coeficientes e raízes de polinômios do 3º grau.
Confundir fator com raiz ou não aplicar corretamente a relação entre coeficientes e raízes.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog