Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão log_A B³ · log_B A² é (Mackenzie 2014)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para quaisquer reais positivos A e B, o resultado da expressão log_A B³ · log_B A² é (Mackenzie 2014)
- A) 10
- B) 6
- C) 8
- D) A·B
- E) 12
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Use a propriedade do expoente do logaritmo: log_A(B^3) = 3·log_A B e log_B(A^2) = 2·log_B A. Assim, a expressão fica 3·log_A B · 2·log_B A = 6·(log_A B · log_B A).
- Use a propriedade de mudança de base: log_A B = 1 / log_B A, pois log_A B = log B / log A e log_B A = log A / log B. Logo, o produto log_A B · log_B A é igual a 1, para A e B positivos com A diferente de 1 e B diferente de 1, que são as condições necessárias para as bases dos logaritmos.
- Portanto, a expressão vale 6·1 = 6, que é a alternativa B. Como o resultado não depende de A nem de B, ele é o mesmo para quaisquer valores válidos.
- Por que as outras estão erradas: 10 surgiria ao somar os expoentes 3 e 2 e multiplicar por 2, o que não é a propriedade usada; 8 surgiria ao tratar o expoente como uma potência de 2, o que não corresponde ao produto dos coeficientes; A·B surgiria ao supor que cada logaritmo se reduz ao seu logaritmando, o que é falso; 12 surgiria ao multiplicar 3·2·2, usando o expoente 2 duas vezes.
- Conclusão: o gabarito oficial B está correto, e a resolução confirma o valor 6.
💡 Dica: Use propriedades dos logaritmos para simplificar a expressão.
Alternativa por alternativa
O aluno soma os expoentes 3 e 2 (obtendo 5) e depois multiplica por 2, tratando a soma como se fosse o produto dos coeficientes das propriedades de logaritmo.
CORRETA. log_A B³ = 3·log_A B e log_B A² = 2·log_B A. Como log_B A = 1/log_A B, temos 3·log_A B · 2·(1/log_A B) = 3·2 = 6.
O aluno trata o expoente 2 como se fosse uma potência de base 2 (2^3 = 8) e não aplica corretamente o fator 2 que sai do logaritmo.
O aluno acredita que log_A B é igual a B e log_B A é igual a A, achando que o logaritmo se cancela e deixa apenas os logaritmandos.
O aluno multiplica 3·2·2 = 12, usando o expoente 2 duas vezes, geralmente por descuido ao aplicar a propriedade nos dois logaritmos.
Raio-X da questão
propriedades dos logaritmos
diagnostico
logaritmos básicos · propriedades de potências
Estude as propriedades básicas dos logaritmos e mudança de base.
Confundir a ordem dos logaritmos ou não aplicar corretamente as propriedades de potência e mudança de base.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog