Se a, ß e ? são as raízes da equação x³ + x² + p x + q = 0, onde p e q são coeficientes reais e a = 1 – 2i é…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Se a, ß e ? são as raízes da equação x³ + x² + p x + q = 0, onde p e q são coeficientes reais e a = 1 – 2i é uma das raízes dessa equação, então a·ß·? é igual a (Mackenzie 2014)
- A) 15
- B) 9
- C) –15
- D) –12
- E) –9
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Como os coeficientes p e q são reais, as raízes não reais aparecem em pares conjugados. Logo, 1 + 2i também é raiz da equação, além de 1 - 2i. Passo 2: Chame a terceira raiz de r. Pelas relações de Girard, a soma das raízes de x³ + x² + px + q = 0 é -1 (coeficiente de x² com sinal trocado). Então (1 - 2i) + (1 + 2i) + r = -1, o que dá 2 + r = -1 e r = -3. Passo 3: O produto das raízes é a·ß·? = (1 - 2i)(1 + 2i)(-3). Passo 4: Calcule o produto dos conjugados: (1 - 2i)(1 + 2i) = 1 + 2i - 2i - 4i² = 1 - 4(-1) = 1 + 4 = 5. Passo 5: Então a·ß·? = 5 · (-3) = -15. Passo 6: Conferindo pela relação de Girard, o produto das raízes é -q, então q = 15, valor compatível com o enunciado, que não exige o cálculo de p. Passo 7: Assim, a alternativa correta é C) -15, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) 15 teria o sinal trocado; B) 9 surge de um erro com i²; D) -12 surge de um erro no módulo do par conjugado; E) -9 surge de um erro no produto dos conjugados.
💡 Dica: Use propriedades das raízes de polinômios com coeficientes reais.
Alternativa por alternativa
O aluno acertou o módulo 5 e o valor r = -3, mas perdeu o sinal negativo no produto final, tratando 5 · (-3) como 15.
O aluno calcula (1 - 2i)(1 + 2i) como 1 - 4 = -3, tratando i² como 1 em vez de -1, e depois obtém (-3) · (-3) = 9.
CORRETA. O produto das raízes de um polinômio cúbico x³ + x² + p x + q = 0 é igual a -q. Como as raízes são 1-2i, 1+2i e uma terceira real, multiplicando (1-2i)(1+2i) = 1² - (2i)² = 1 - (-4) = 5. Se α·β·γ = -q, e o produto das três raízes é 5·γ, igual a -q, a alternativa correta é -15.
O aluno usa 2² = 4 no produto dos conjugados, esquecendo que a parte real 1² também entra, e obtém 4 · (-3) = -12.
O aluno acredita que o produto de um complexo pelo seu conjugado é a soma 1 + 2 = 3, sem elevar as partes ao quadrado, e obtém 3 · (-3) = -9.
Raio-X da questão
raízes de polinômios complexos
diagnostico
números complexos e conjugados · propriedades de polinômios
estude propriedades das raízes de equações polinomiais e números complexos
não considerar que as raízes complexas aparecem em pares conjugados quando os coeficientes são reais
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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