Seja f : R? ? R? uma função tal que f(x+y) = f(x)·f(y) para quaisquer x ? R? e y ? R?. Se f(1) = 8, o valor de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Seja f : R? ? R? uma função tal que f(x+y) = f(x)·f(y) para quaisquer x ? R? e y ? R?. Se f(1) = 8, o valor de f(4/3) é (Mackenzie 2014)
- A) 16
- B) 1/3
- C) 1/4
- D) 3
- E) 4
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- A equação f(x+y)=f(x)·f(y) é a equação funcional exponencial. Como f(1)=8, a função é f(x)=8^x, pois f(n) = 8^n para inteiros e a propriedade se estende aos racionais e aos reais positivos. Passo 2: Calcule f(1/3). Como f(1/3+1/3+1/3)=f(1/3)^3 e isso vale f(1)=8, temos f(1/3)^3 = 8, logo f(1/3)=2 (contradomínio positivo). Passo 3: Escreva 4/3 como 1/3+1/3+1/3+1/3. Então f(4/3)=f(1/3)^4 = 2^4 = 16 (ou, direto, f(4/3)=8^(4/3)=(8^(1/3))^4=2^4=16). Passo 4: Conclusão: f(4/3)=16, alternativa A, que coincide com o gabarito oficial. Passo 5: Por que as outras estão erradas: B (1/3) inverte o sentido da operação; C (1/4) trata a função como decrescente; D (3) confunde a propriedade multiplicativa com uma relação linear; E (4) divide em vez de multiplicar, calculando 8/2.
💡 Dica: Use a propriedade funcional para expressar f(4/3) em termos de f(1).
Alternativa por alternativa
CORRETA. A função f(x) = 8^x satisfaz a propriedade dada, logo f(4/3) = 8^{4/3} = (2^3)^{4/3} = 2^4 = 16.
O aluno provavelmente inverte a lógica da função, tratando f(4/3) como se fosse o inverso de uma grandeza associada à fração, e chega ao próprio 1/3 sem aplicar a propriedade f(x+y)=f(x)·f(y).
O aluno supõe que a função decresce, invertendo o sinal do expoente (como se fosse 8^(-x)) e fazendo uma simplificação incorreta de frações, o que leva a um valor pequeno e fracionário.
O aluno aplica a propriedade como se fosse aditiva, do tipo f(x+y)=f(x)+f(y), obtendo uma relação linear que não corresponde ao enunciado, e acaba com um valor inteiro pequeno.
O aluno calcula f(1/3) corretamente como 2, mas depois usa divisão em vez de multiplicação, fazendo f(4/3)=f(1)/f(1/3)=8/2=4. Ele não percebe que 4/3 é soma de frações e não diferença.
Raio-X da questão
função exponencial e propriedades
avaliacao
função real e propriedades · exponenciação e logaritmos
estude funções exponenciais e propriedades funcionais
Confundir a propriedade funcional com aditividade ou não aplicar corretamente a relação f(x+y)=f(x)·f(y).
pensamento_critico
abstrato
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