Cinco casais resolvem ir ao teatro e compram os ingressos para ocuparem todas as 10 poltronas de uma…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Cinco casais resolvem ir ao teatro e compram os ingressos para ocuparem todas as 10 poltronas de uma determinada fileira. O número de maneiras que essas 10 pessoas podem se acomodar nas 10 poltronas, se um dos casais brigou, e eles não podem se sentar lado a lado é (Mackenzie 2014)
- A) 9.(9!)
- B) 8.(9!)
- C) 8.(8!)
- D) 10! / 2
- E) 10! / 4
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Sem restrições, 10 pessoas podem se acomodar em 10 poltronas de 10! maneiras, pois a ordem de ocupação importa.
- Para contar as acomodações em que o casal brigado fica lado a lado, trate os dois como um bloco único. Esse bloco pode ter 2 ordens internas (marido na esquerda ou na direita), e os 9 elementos (8 pessoas restantes mais o bloco) podem se organizar de 9! maneiras. Logo, há 2 · 9! arranjos com o casal junto.
- Subtraia os casos proibidos do total: 10! - 2 · 9! = 10 · 9! - 2 · 9! = 8 · 9!.
- Assim, a resposta correta é a alternativa B, 8 · 9!, que coincide com o gabarito oficial.
- A alternativa A (9 · 9!) está errada porque subtrai apenas 9! casos, esquecendo que o casal pode se sentar em duas ordens diferentes.
- A alternativa C (8 · 8!) está errada porque mistura o número de elementos e de fatoriais, contando como se fossem 8 unidades em vez de 9 após formar o bloco.
- A alternativa D (10! / 2) está errada porque supõe que metade das acomodações é proibida, o que não corresponde à restrição de o casal não ficar lado a lado.
- A alternativa E (10! / 4) está errada pelo mesmo motivo: divide o total por um fator arbitrário, sem relação com o número de arranjos em que o casal está junto.
💡 Dica: Use princípio da contagem e subtraia os casos proibidos.
Alternativa por alternativa
O aluno calcula os casos com o casal junto como 9!, esquecendo que o bloco do casal pode ter duas ordens internas. Assim subtrai apenas 9! do total de 10!.
CORRETA. Primeiro, posiciona-se o casal brigado em lugares separados (há 8 possibilidades para isso), depois permuta-se as 9 pessoas restantes (9!), totalizando 8 × 9! maneiras.
O aluno mistura o número de elementos ao formar o bloco, usando 8! em vez de 9! e 8 como fator, sem contar corretamente as unidades após juntar o casal.
O aluno supõe que metade das acomodações é proibida, talvez por simetria entre a ordem dos membros do casal, sem calcular de fato os casos em que eles ficam juntos.
O aluno divide o total por 4 como se houvesse duas restrições independentes ou uma simetria dupla, sem relação com a condição de o casal não sentar lado a lado.
Raio-X da questão
princípio da contagem permutação restrição
avaliacao
princípio da contagem · permutação simples
Estude permutação e contagem com restrições.
O aluno pode esquecer de subtrair os casos em que o casal está junto, contando-os como válidos.
pensamento_critico
cotidiano
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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