Para construir um funil a partir de um disco de alumínio de centro O e raio R = 16 cm, retira-se do disco um…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Converter representações algébricas de funções polinomiais de 1º grau em representações geométricas no plano cartesiano, distinguindo os casos nos quais o comportamento é proporcional, recorrendo ou não a softwares ou aplicativos de álgebra e geometria dinâmica.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Para construir um funil a partir de um disco de alumínio de centro O e raio R = 16 cm, retira-se do disco um setor circular de ângulo central ? = 225°. Em seguida, remove-se um outro setor circular, de raio r = 1 cm. Para finalizar, soldam-se as bordas AC e BD. O processo de construção do funil está representado nas figuras abaixo. A medida da altura do funil é (Mackenzie 2014)
- A) 2√39 cm
- B) 15√39 / 8 cm
- C) √55 / 8 cm
- D) 2√55 cm
- E) 15√55 / 8 cm
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- O disco tem raio R = 16 cm. Retirando um setor de 225°, sobra um setor de 360° - 225° = 135°, que será enrolado para formar a superfície lateral do funil. Passo 2: O comprimento do arco do setor restante é 16 · (135π/180) = 12π cm. Esse arco vira a circunferência da boca superior do funil, 2πR' = 12π, logo o raio da boca é R' = 6 cm. Passo 3: O setor de raio r = 1 cm, retirado do vértice, faz com que a geratriz do funil vá de 1 cm até 16 cm, ou seja, a geratriz do tronco de cone é 16 - 1 = 15 cm. Passo 4: O arco do setor de raio 1 cm, com 135°, tem comprimento 1 · 3π/4 = 3π/4 cm. Esse arco é a circunferência da base inferior (saída do funil), então 2πr'' = 3π/4 e r'' = 3/8 cm. Passo 5: No tronco de cone, a diferença entre os raios é 6 - 3/8 = 45/8 cm. A altura h satisfaz h^2 + (45/8)^2 = 15^2, logo h^2 = 225 - 2025/64 = 12375/64 = 225 · 55/64. Portanto h = 15√55/8 cm, que é a alternativa E. Por que as outras estão erradas: A) 2√39 não surge de nenhuma relação correta entre geratriz 15 e raios 6 e 3/8. B) 15√39/8 usa o valor 39 no radicando, o que não corresponde à diferença correta dos raios. C) √55/8 teria altura pequena demais, como se a geratriz fosse 1 cm. D) 2√55 é a altura do cone inteiro de geratriz 16, sem descontar o setor retirado do vértice.
💡 Dica: Use as propriedades dos setores circulares e relações geométricas para calcular a altura do funil.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou o cálculo do radicando ao aplicar Pitágoras, obtendo 156 em vez de 12375/64, e chegou a 2√39 por simplificação incorreta.
O aluno aplicou corretamente a ideia de Pitágoras no tronco de cone, mas errou a conta dos raios ou a simplificação do radical, chegando ao fator 39 em vez de 55.
O aluno usou a geratriz 1 cm (o raio do setor retirado) em vez da geratriz de 15 cm do tronco, o que reduz muito a altura.
O aluno considerou o cone completo de geratriz 16 cm e raio 6 cm, esquecendo que o setor de raio 1 cm foi removido e que a base inferior tem raio 3/8 cm.
CORRETA. Considera corretamente a proporção angular do setor removido, os comprimentos dos arcos das bases do cone e aplica corretamente o teorema de Pitágoras para encontrar a altura.
Raio-X da questão
setor circular, raio, altura funil
avaliacao
propriedades de setores circulares · relações geométricas em sólidos
Estude propriedades de setores circulares e relações geométricas em sólidos de revolução.
Confundir o cálculo do setor circular com o cálculo da altura do funil, ou esquecer de considerar o setor removido.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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