Vitória-régia é uma planta aquática típica da região amazônica. Suas folhas são grandes e têm formato…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Vitória-régia é uma planta aquática típica da região amazônica. Suas folhas são grandes e têm formato circular, com uma capacidade notável de flutuação, graças aos compartimentos de ar em sua face inferior. Em um belo dia, um sapo estava sobre uma folha de vitória-régia, cuja borda obedece à equação x² + y² + 2x + y + 1 = 0, apreciando a paisagem ao seu redor. Percebendo que a folha que flutuava à sua frente era maior e mais bonita, resolveu pular para essa folha, cuja borda é descrita pela equação x² + y² - 2x - 3y + 1 = 0. A distância linear mínima que o sapo deve percorrer em um salto para não cair na água é (Mackenzie 2014)
- A) 2(√2 − 1)
- B) 2
- C) 2√2
- D) √2 − 2
- E) √5
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Reescreva a primeira equação completando quadrados. x^2 + 2x + y^2 + y + 1 = 0 fica (x + 1)^2 + (y + 1/2)^2 = 1/4. Logo, a primeira folha tem centro C1(-1, -1/2) e raio r1 = 1/2. Passo 2: Faça o mesmo com a segunda equação. x^2 - 2x + y^2 - 3y + 1 = 0 fica (x - 1)^2 + (y - 3/2)^2 = 9/4. Logo, a segunda folha tem centro C2(1, 3/2) e raio r2 = 3/2. Passo 3: Calcule a distância entre os centros. d = raiz de (2^2 + 2^2) = raiz de 8 = 2raiz de 2. Passo 4: Compare d com a soma dos raios. r1 + r2 = 1/2 + 3/2 = 2. Como d = 2raiz de 2 é aproximadamente 2,83, que é maior que 2, as circunferências são externas, ou seja, não se tocam. Passo 5: A menor distância entre as duas bordas é o segmento que liga os centros, descontando os dois raios. Essa distância é d - (r1 + r2) = 2raiz de 2 - 2 = 2(raiz de 2 - 1), que é a alternativa A. Passo 6: Por que as outras estão erradas. B) 2 é apenas a soma dos raios, que não é a distância entre as bordas. C) 2raiz de 2 é a distância entre os centros, sem descontar os raios. D) raiz de 2 - 2 é negativo, o que é impossível para uma distância. E) raiz de 5 resulta de um erro no cálculo da distância entre os centros. Passo 7: Conclusão. O gabarito oficial A está correto.
💡 Dica: Calcule o centro e raio das circunferências e depois a distância entre elas.
Alternativa por alternativa
CORRETA. A distância mínima entre as bordas das circunferências é dada por 2(√2 − 1), obtida ao calcular a distância entre os centros e subtrair os raios.
O aluno calcula apenas a soma dos raios (1/2 + 3/2 = 2) e a considera a distância pedida, sem perceber que a distância entre as bordas é a distância entre os centros menos essa soma.
O aluno encontra corretamente a distância entre os centros, 2raiz de 2, mas esquece de descontar os raios das duas folhas, como se o sapo saltasse do centro de uma até o centro da outra.
O aluno erra o cálculo da distância entre os centros, obtendo raiz de 2 em vez de 2raiz de 2 (esquece o fator 2 que sai de raiz de 8), e depois subtrai os raios; o resultado negativo deveria ter sido um alerta.
O aluno calcula a distância entre os centros com coordenadas trocadas ou mal lidas, por exemplo tomando diferença 1 em x e 2 em y, o que dá raiz de 5, e não percebe que a distância correta entre os centros é 2raiz de 2.
Raio-X da questão
distância entre circunferências
avaliacao
equação da circunferência · distância entre pontos no plano
estude equações de circunferências e cálculo de distância entre pontos
Confundir o cálculo da distância entre os centros com a distância mínima entre as bordas das circunferências.
pensamento_critico
cotidiano
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog