Em R, o domínio da função f, definida por f(x) = v(sen 2x / sen x), é (Mackenzie 2014)

Questão

Em R, o domínio da função f, definida por f(x) = v(sen 2x / sen x), é (Mackenzie 2014)

1. A) { x ∈ R / x ≠ kπ, k ∈ Z }
2. B) { x ∈ R / 2kπ < x < π + 2kπ, k ∈ Z }
3. C) { x ∈ R / π/2 + 2kπ ≤ x ≤ 3π/2 + 2kπ, k ∈ Z }
4. D) { x ∈ R / 2kπ < x ≤ π/2 + 2kπ ∨ 3π/2 + 2kπ ≤ x < 2π + 2kπ, k ∈ Z }
5. E) { x ∈ R / 2kπ ≤ x ≤ π/2 + 2kπ ∨ 3π/2 + 2kπ ≤ x < 2π + 2kπ, k ∈ Z }

✅ Resposta correta: alternativa D

Resolução passo a passo

1. Interpretei o símbolo 'v' como raiz quadrada, então f(x) = raiz de (sen 2x / sen x). Para existir em R, a expressão do radicando precisa ser maior ou igual a zero e o denominador não pode ser zero.
2. Como sen 2x = 2 sen x cos x, para sen x diferente de zero temos sen 2x / sen x = 2 cos x. Logo, a condição é sen x diferente de zero (x diferente de kπ) e 2 cos x maior ou igual a zero, ou seja, cos x maior ou igual a zero.
3. cos x é maior ou igual a zero no intervalo [3π/2 + 2kπ, 2π + π/2 + 2kπ] equivalente a [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]. Nesse intervalo, o único ponto onde sen x = 0 é x = 2kπ (o zero 0 de sen x dentro de [-π/2, π/2]), que deve ser excluído.
4. Assim, o domínio é formado por 2kπ < x ≤ π/2 + 2kπ ou 3π/2 + 2kπ ≤ x < 2π + 2kπ, com k inteiro. Os extremos -π/2 e π/2 entram porque cos neles é zero e a raiz de zero existe. Esse é exatamente o conjunto da alternativa D, que é o gabarito oficial, e eu cheguei a ele por conta própria.
5. A alternativa A ignora a condição de não negatividade do radicando. A alternativa B usa a região onde sen x é positivo, o que não corresponde à condição cos x maior ou igual a zero. A alternativa C usa a região onde cos x é menor ou igual a zero, invertendo o sinal. A alternativa E inclui x = 2kπ, onde o denominador sen x se anula, e por isso está errada.

💡 Dica: Analise as restrições do domínio da função trigonométrica.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão