Representa-se no plano complexo os pontos A, B e C, vértices de um triângulo T, correspondentes aos números…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Representa-se no plano complexo os pontos A, B e C, vértices de um triângulo T, correspondentes aos números complexos z1, z2 e z3 que são raízes cúbicas de 8, sendo z1 = 2. Com base no texto, assinale a alternativa correta. (Mackenzie 2013)
- A) (−2, 0) é um dos vértices do triângulo T.
- B) z₂ é o conjugado complexo de z₁.
- C) z₂ = −z₃
- D) z₂ + z₃ = −2
- E) −z₁ = |z₂|
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- As raízes cúbicas de 8 são as soluções complexas de z^3 = 8. Como z1 = 2 (pois 2^3 = 8), as outras duas raízes têm módulo 2 e estão separadas de 120 graus no plano complexo. Passo 2: Usando a forma trigonométrica, z2 = 2(cos 120° + i sen 120°) = -1 + i raiz de 3 e z3 = 2(cos 240° + i sen 240°) = -1 - i raiz de 3. Passo 3: Somando, z2 + z3 = (-1 + i raiz de 3) + (-1 - i raiz de 3) = -2, o que confirma a alternativa D. Passo 4: A alternativa A está errada, pois (-2, 0) corresponde a -2, que é raiz de z^3 = -8 e não de z^3 = 8; os vértices são (2, 0), (-1, raiz de 3) e (-1, -raiz de 3). Passo 5: A alternativa B está errada, pois z1 = 2 é real e seu conjugado é ele mesmo; z2 é o conjugado de z3, não de z1. Passo 6: A alternativa C está errada, pois -z3 = 1 + i raiz de 3, diferente de z2 = -1 + i raiz de 3. Passo 7: A alternativa E está errada, pois -z1 = -2, enquanto |z2| = 2 é positivo, e um módulo nunca é negativo.
💡 Dica: Use propriedades das raízes cúbicas de números complexos para identificar os pontos.
Alternativa por alternativa
O aluno confunde a raiz cúbica de 8 com a raiz cúbica de -8, tomando -2 como uma das raízes, quando os vértices corretos são (2, 0), (-1, raiz de 3) e (-1, -raiz de 3).
O aluno acredita que dois números complexos são conjugados apenas por serem raízes distintas da mesma equação, ou que o conjugado de um número real é outro número, sem perceber que o conjugado de 2 é o próprio 2.
O aluno confunde o simétrico (oposto) com o conjugado: troca apenas o sinal da parte imaginária de z3 e obtém 1 + i raiz de 3, ou inverte o sinal de z3 sem perceber que a parte real também muda de sinal.
É a resposta que o enunciado sustenta.
O aluno acredita que o módulo de um número complexo pode ser negativo ou não percebe que |z2| é sempre não negativo, e assim associa -z1 = -2 a |z2| = 2 como se fossem iguais.
Raio-X da questão
raízes cúbicas números complexos
diagnostico
números complexos básicos · operações com números complexos
estude propriedades das raízes de números complexos
Confundir as raízes cúbicas de um número com valores reais apenas, ignorando as raízes complexas.
pensamento_critico
abstrato
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