O conjunto dos números reais, para os quais a função f(x) = log_{x+5} ((x² + 5x + 4)/(x² - 1)) está definida…

Questão

O conjunto dos números reais, para os quais a função f(x) = log_{x+5} ((x² + 5x + 4)/(x² - 1)) está definida, é (Mackenzie 2013)

1. A) IR
2. B) { x ∈ IR / x ≤ −5 ou x ≥ 1 }
3. C) { x ∈ IR / x ≤ −5 ou x > 1 }
4. D) { x ∈ IR / −6 < x ≤ −5 ou x ≥ 1 }
5. E) { x ∈ IR / −5 < x < −4 ou x > 1 }

✅ Resposta correta: alternativa E

Resolução passo a passo

1. Para o logaritmo existir, a base deve ser positiva e diferente de 1: x + 5 > 0, portanto x > −5, e x + 5 ≠ 1, portanto x ≠ −4.
2. O argumento deve ser positivo e estar definido. Fatorando, obtemos [(x + 1)(x + 4)]/[(x − 1)(x + 1)], com x ≠ −1 e x ≠ 1, pois o denominador original não pode ser zero. Analisando o sinal, o argumento é positivo quando x < −4 ou x > 1.
3. Combinando as condições, x > −5 com x < −4 resulta em −5 < x < −4; a outra possibilidade é x > 1. Assim, a resposta é E.
4. A alternativa A ignora as restrições do logaritmo; B e C admitem valores menores ou iguais a −5, que não podem ser base; D também inclui valores entre −6 e −5 e o valor −5, para os quais a base não é positiva.

💡 Dica: Analise as condições de existência do logaritmo e do denominador da fração.

Alternativa por alternativa

Raio-X da questão