O valor de y na única solução do sistema linear { x sen ? + z = 0 x sen (-?) + y cos (-?) + z = 0 x sen (-?) +…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
O valor de y na única solução do sistema linear { x sen ? + z = 0 x sen (-?) + y cos (-?) + z = 0 x sen (-?) + y cos ? - z = sen ? } em que sen (2?) ? 0 , é (Mackenzie 2013)
- A) tg (2θ)
- B) tg θ
- C) cos θ
- D) sen (2θ)
- E) sen (−θ)
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Use sen(-θ) = -sen θ e cos(-θ) = cos θ para reescrever o sistema: (1) x sen θ + z = 0; (2) -x sen θ + y cos θ + z = 0; (3) -x sen θ + y cos θ - z = sen θ.
- De (1), z = -x sen θ. Substituindo em (2): -x sen θ + y cos θ - x sen θ = 0, logo y cos θ = 2x sen θ.
- Substituindo z em (3): -x sen θ + y cos θ + x sen θ = sen θ, logo y cos θ = sen θ.
- Igualando as duas expressões para y cos θ: 2x sen θ = sen θ. Como sen(2θ) é diferente de zero e sen(2θ) = 2 sen θ cos θ, então sen θ e cos θ são ambos não nulos. Dividindo por sen θ, x = 1/2.
- Com y cos θ = sen θ e cos θ diferente de zero, y = sen θ / cos θ = tg θ. Logo a alternativa correta é B, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: A) tg(2θ) não aparece em nenhuma etapa, pois o ângulo duplo nunca surge na resolução; C) cos θ só seria o valor de y se sen θ fosse igual a cos^2 θ, o que o sistema não garante; D) sen(2θ) é uma expressão que não corresponde a y; E) sen(-θ) = -sen θ, que em geral não é igual a tg θ.
💡 Dica: Use propriedades de funções trigonométricas e métodos para resolver sistemas lineares.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente confunde tg θ com tg(2θ), talvez aplicando fórmula de arco duplo sem necessidade após resolver o sistema.
CORRETA. Ao resolver o sistema linear e aplicar as identidades trigonométricas corretamente, encontra-se que y = tg θ.
O aluno pode isolar y de forma incorreta, esquecendo de dividir por sen θ e tomando cos θ como resposta a partir de y cos θ = sen θ.
O aluno pode relacionar a condição sen(2θ) diferente de zero com a resposta, tomando a expressão do enunciado como o valor de y sem resolver o sistema.
O aluno pode ignorar o sinal ao trocar sen(-θ) por sen θ ou confundir o valor de y com o termo sen(-θ) que aparece nas equações.
Raio-X da questão
sistema linear trigonométrico
avaliacao
funções trigonométricas básicas · resolução de sistemas lineares
Estude resolução de sistemas lineares e propriedades de funções trigonométricas.
Confundir sinais e propriedades trigonométricas ao manipular o sistema, levando a soluções incorretas.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog