As raízes reais da equação x^4 - 1 = 0, dispostas em ordem crescente, formam, respectivamente, os coeficientes…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
As raízes reais da equação x^4 - 1 = 0, dispostas em ordem crescente, formam, respectivamente, os coeficientes a e b da reta r: ax + by +1 = 0. A equação da reta s, perpendicular à r e que passa pelo ponto P(1,2), será (Mackenzie 2013)
- A) x - y + 3 = 0
- B) -x + y - 1 = 0
- C) x + y - 3 = 0
- D) -2x + y + 1 = 0
- E) 2x - y - 3 = 0
✅ Resposta correta: alternativa C
Resolução passo a passo
- Resolver x^4 - 1 = 0. Fatorando como diferença de quadrados, (x^2 - 1)(x^2 + 1) = 0. O fator x^2 + 1 não tem raízes reais, então x^2 - 1 = 0, ou seja, x = -1 ou x = 1. As raízes reais em ordem crescente são -1 e 1.
- Identificar a reta r. Como a = -1 e b = 1, a reta é -x + y + 1 = 0, que pode ser escrita como y = x - 1. Seu coeficiente angular é m_r = 1.
- Determinar o coeficiente angular de s. Retas perpendiculares têm coeficientes angulares tais que m_r · m_s = -1. Logo, m_s = -1.
- Escrever a equação de s passando por P(1,2). Usando y - y0 = m(x - x0): y - 2 = -1·(x - 1), o que dá y - 2 = -x + 1, ou seja, y = -x + 3. Reescrevendo na forma geral: x + y - 3 = 0.
- Conferir o resultado. Substituindo P(1,2): 1 + 2 - 3 = 0, então P pertence à reta. A inclinação é -1, o oposto do inverso de 1, como exige a perpendicularidade. Logo, a alternativa C está correta, coincidindo com o gabarito.
- Por que as outras estão erradas. A: x - y + 3 = 0 tem coeficiente angular 1, portanto é paralela a r e não perpendicular. B: -x + y - 1 = 0 passa por P, mas também tem coeficiente angular 1, sendo paralela a r. D: -2x + y + 1 = 0 tem coeficiente angular 2 e não passa por P, pois -2 + 2 + 1 = 1 é diferente de 0. E: 2x - y - 3 = 0 tem coeficiente angular 2 e não passa por P, pois 2 - 2 - 3 = -3 é diferente de 0.
💡 Dica: Encontre as raízes reais da equação e use a condição de perpendicularidade para determinar a reta.
Alternativa por alternativa
O aluno calculou corretamente a reta r, mas usou o mesmo coeficiente angular 1 de r, achando que a reta pedida deve ser paralela a ela, ou não inverteu e trocou o sinal do coeficiente angular.
O aluno encontrou uma reta que passa por P, mas manteve o coeficiente angular 1 de r, confundindo perpendicularidade com paralelismo.
CORRETA. A equação x + y - 3 = 0 representa a reta perpendicular à r, com coeficiente angular -1, e passa pelo ponto P(1,2), pois 1 + 2 - 3 = 0.
O aluno obteve um coeficiente angular errado (2) ao manipular os coeficientes de r ou da equação de s, e não verificou que a reta resultante não passa pelo ponto P(1,2).
O aluno errou o coeficiente angular (2) na montagem da equação e ao substituir P(1,2) na equação obtida, o resultado não zerou; faltou conferir a reta final com o ponto dado.
Raio-X da questão
raízes de equação e reta perpendicular
avaliacao
raízes de equações polinomiais · equação da reta no plano cartesiano
estude como encontrar raízes de equações e propriedades de retas perpendiculares
Confundir as raízes complexas com reais ou esquecer a relação entre coeficientes da reta e as raízes.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Resolver outra questão
Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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