A partir do triângulo equilátero ABC de lado l1 = 2¹°, obtém-se o 2º triângulo equilátero DEC de lado l2 =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A partir do triângulo equilátero ABC de lado l1 = 2¹°, obtém-se o 2º triângulo equilátero DEC de lado l2 = l1/2, e o 3º triângulo equilátero FGC de lado l3 = l2/2. Continuando nessa progressão geométrica, obtém-se o 10º triângulo equilátero TUC, de lado l10, onde o vértice C é o centro da circunferência de raio R = l10/2, conforme a figura. A área sombreada na figura é (Mackenzie 2013)
- A) √3 - π/6
- B) √3 - π/3
- C) √2 - π/6
- D) √2 - π/3
- E) √5 - π
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Os lados formam uma progressão geométrica de razão 1/2, com l1 = 2^10. O termo geral é l_n = l1 · (1/2)^(n-1). Assim, l10 = 2^10 · (1/2)^9 = 2^10 / 2^9 = 2. Passo 2: Com l10 = 2, o raio da circunferência é R = l10/2 = 1. Passo 3: O triângulo TUC é equilátero de lado 2, e sua área é (lado^2 · raiz de 3)/4 = (4 · raiz de 3)/4 = raiz de 3. Passo 4: Na figura, a circunferência de centro C e raio 1 corta o triângulo. Como o triângulo é equilátero, o ângulo em C mede 60 graus, e o setor circular correspondente tem área (60/360) · pi · R^2 = pi/6. Passo 5: A região sombreada é a parte do triângulo que fica fora do setor, então sua área é raiz de 3 - pi/6, que corresponde à alternativa A. Passo 6: Por que as outras estão erradas: a alternativa B usa um setor de 120 graus (pi/3) em vez de 60 graus; a alternativa C calcula a área do triângulo como raiz de 2, o que não corresponde ao triângulo de lado 2; a alternativa D combina os dois erros anteriores; e a alternativa E considera a área de toda a circunferência (pi) e atribui ao triângulo a área raiz de 5.
💡 Dica: Calcule os lados pela progressão geométrica e use fórmulas de área do triângulo equilátero.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Representa corretamente a diferença entre a área do triângulo equilátero e a área do setor circular correspondente.
O aluno usa um setor de 120 graus, cuja área é pi/3, em vez do setor de 60 graus que o ângulo do triângulo equilátero determina. Pode também ter confundido o ângulo central com outro ângulo da figura.
O aluno calcula a área do triângulo equilátero de lado 2 como raiz de 2, provavelmente aplicando de forma errada a fórmula da área ou esquecendo o fator raiz de 3 da altura.
O aluno erra simultaneamente a área do triângulo, que vira raiz de 2, e a área do setor, que vira pi/3 por usar 120 graus, combinando dois equívocos procedimentais.
O aluno subtrai a área de uma circunferência inteira de raio 1 (pi) e obtém raiz de 5 para o triângulo, sem reconhecer que a região sombreada depende apenas do setor de 60 graus e de um triângulo de área raiz de 3.
Raio-X da questão
progressão geométrica, área triângulo equilátero
diagnostico
progressão geométrica · área triângulo equilátero
progressão geométrica e cálculo de área de triângulo equilátero
Confundir a razão da progressão geométrica ou aplicar incorretamente a fórmula da área do triângulo equilátero.
pensamento_critico
abstrato
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