Em C, o conjunto solução da equação | x+1 x x-1 | | 2x 2x 2x | = x² + 2x + 5 é | -1 -1 -1 | (Mackenzie 2013)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Em C, o conjunto solução da equação | x+1 x x-1 | | 2x 2x 2x | = x² + 2x + 5 é | -1 -1 -1 | (Mackenzie 2013)
- A) {2 + 2i, 2 - 2i}
- B) {-1 - 4i, -1 + 4i}
- C) {1 + 4i, 1 - 4i}
- D) {-1 + 2i, -1 - 2i}
- E) {2 - 2i, 1 + 2i}
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Calcule o determinante da matriz 3x3 com linhas (x+1, x, x-1), (2x, 2x, 2x) e (-1, -1, -1). Passo 2: Observe que a segunda linha é 2x vezes (1, 1, 1) e a terceira linha é -1 vezes (1, 1, 1), ou seja, as linhas 2 e 3 são proporcionais. Uma matriz com duas linhas proporcionais tem determinante igual a zero para qualquer valor de x. Passo 3: Assim, a equação reduz-se a 0 = x^2 + 2x + 5, isto é, x^2 + 2x + 5 = 0. Passo 4: Resolva pela fórmula de Bhaskara: Δ = 2^2 - 4·1·5 = 4 - 20 = -16, e a raiz quadrada de -16 é 4i. Logo x = (-2 ± 4i)/2 = -1 ± 2i. Passo 5: Portanto, o conjunto solução é {-1 + 2i, -1 - 2i}, que corresponde à alternativa D, em acordo com o gabarito. Passo 6: Verificação das demais: A) {2 ± 2i} tem soma 4 e produto 8, não satisfaz x^2 + 2x + 5 = 0. B) {-1 ± 4i} esqueceu de dividir a raiz por 2a. C) {1 ± 4i} tem soma 2 e não corresponde às raízes corretas. E) mistura raízes inconsistentes, pois as raízes devem ser um par conjugado com parte real -1.
💡 Dica: Calcule o determinante da matriz e iguale à expressão dada para encontrar x.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente encontrou um polinômio de raízes 2 ± 2i (como x^2 - 4x + 8) e errou o sinal e o coeficiente do termo em x, ignorando a parte real -1 dada pela fórmula de Bhaskara.
O aluno calculou corretamente a raiz quadrada de -16 como 4i, mas esqueceu de dividir por 2a = 2, obtendo -1 ± 4i em vez de -1 ± 2i.
O aluno provavelmente trocou sinais ou não dividiu corretamente pela constante 2a, chegando a 1 ± 4i, com parte real positiva, o que não é compatível com a soma -2 das raízes de x^2 + 2x + 5.
CORRETA. Ao calcular o determinante da matriz e igualar ao polinômio, obtém-se a equação x² + 2x + 5 = 0, cujas soluções são -1 ± 2i.
O aluno não percebeu que o determinante é identicamente nulo e tratou a equação como se tivesse duas raízes incompatíveis, misturando soluções de polinômios diferentes; raízes de uma equação com coeficientes reais aparecem em pares conjugados.
Raio-X da questão
determinante matriz equação
avaliacao
cálculo de determinantes · resolução de equações algébricas
Revisar cálculo de determinantes e resolução de equações algébricas.
Confundir o cálculo do determinante com operações elementares ou esquecer de igualar ao polinômio dado.
pensamento_critico
abstrato
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