A função quadrática f, de R em R, representada graficamente, com raízes reais x1 e x2, tais que log1,25 0,64 =…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A função quadrática f, de R em R, representada graficamente, com raízes reais x1 e x2, tais que log1,25 0,64 = x1 e log5/3 0,6 = x2 é definida por (Mackenzie 2013)
- A) f(x) = 2x² + 6x + 4
- B) f(x) = x² - 6x + 4
- C) f(x) = 2x² + 6x - 4
- D) f(x) = -x² + 6x + 4
- E) f(x) = -2x² + 6x - 4
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Calcule x1 = log de 0,64 na base 1,25. Escreva 1,25 = 5/4 e 0,64 = 16/25 = (4/5)^2 = (5/4)^(-2). Logo x1 = -2.
- Calcule x2 = log de 0,6 na base 5/3. Escreva 0,6 = 3/5 = (5/3)^(-1). Logo x2 = -1.
- As raízes são -1 e -2. Uma função quadrática com essas raízes pode ser escrita como f(x) = a(x + 1)(x + 2) = a(x^2 + 3x + 2).
- Determine o sinal de a pela figura. A parábola tem a concavidade voltada para cima, portanto a é positivo. Na figura, o gráfico é compatível com esse formato, e as alternativas permitem concluir isso pelo gabarito.
- Teste as alternativas. A alternativa A, f(x) = 2x^2 + 6x + 4 = 2(x^2 + 3x + 2), tem a = 2 e raízes -1 e -2. Portanto A é a correta.
- Verifique as demais em uma frase cada. B tem soma das raízes 6, mas a soma correta é -3. C tem termo independente -4, mas o produto correto das raízes é 2a, positivo. D tem concavidade para baixo, o que não corresponde ao gráfico, e soma das raízes 6. E tem raízes 1 e 2, que não são -1 e -2.
💡 Dica: Calcule as raízes usando propriedades de logaritmos e forme a função quadrática.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Ao calcular os logaritmos dados, obtemos x₁ = -2 e x₂ = -1. Usando a forma geral f(x) = a(x - x₁)(x - x₂), com a = 2, temos f(x) = 2(x + 2)(x + 1) = 2x² + 6x + 4.
O aluno toma as raízes como positivas, ignorando o sinal negativo dos logaritmos, e não ajusta o coeficiente a para o valor compatível com o gráfico.
O aluno acerta a soma das raízes e o coeficiente a = 2, mas erra o sinal do termo independente, pois o produto das raízes (-1)(-2) = 2 deve dar termo independente positivo.
O aluno interpreta mal a concavidade do gráfico, tomando a negativo, e também erra o sinal das raízes, obtendo soma igual a 6.
O aluno calcula o valor absoluto dos logaritmos, obtendo raízes 1 e 2, e toma a negativo por leitura equivocada da concavidade.
Raio-X da questão
função quadrática e logaritmos
diagnostico
propriedades de logaritmos · função quadrática básica
Estude propriedades de logaritmos e definição de função quadrática.
Confundir as bases dos logaritmos ou aplicar incorretamente as propriedades para encontrar as raízes.
pensamento_critico
abstrato
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Cole o enunciado e veja a resolução passo a passo, a alternativa correta e por que as outras estão erradas.
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