A área de um triângulo regular inscrito em uma circunferência de raio r, em função do apótema a de um hexágono…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A área de um triângulo regular inscrito em uma circunferência de raio r, em função do apótema a de um hexágono regular inscrito na mesma circunferência é (Mackenzie 2013)
- A) a²
- B) √2 a²
- C) 2√2 a²
- D) 1/2 √3 a²
- E) √3 a²
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Relacione o raio r com o apótema a do hexágono regular inscrito. O lado do hexágono regular inscrito é igual ao raio, logo l = r. O apótema de um hexágono regular de lado l é a = (r raiz de 3)/2. Portanto r = 2a/raiz de 3, e r^2 = 4a^2/3.
- Determine o lado do triângulo equilátero inscrito na mesma circunferência. O lado de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência de raio r é L = r raiz de 3.
- Calcule a área do triângulo equilátero em função de r. A área de um triângulo equilátero de lado L é (L^2 raiz de 3)/4. Com L^2 = 3r^2, a área é (3 raiz de 3 r^2)/4.
- Substitua r^2 = 4a^2/3. A área é (3 raiz de 3/4)(4a^2/3) = raiz de 3 a^2. Logo a alternativa correta é a E, que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas. A alternativa A confunde o apótema do hexágono com o raio. A alternativa B usa um fator raiz de 2, que não aparece nesta configuração. A alternativa C tem o radical e a constante incorretos. A alternativa D usa a metade de raiz de 3, que é o coeficiente de conversão entre raio e apótema, e não a área do triângulo.
💡 Dica: Use relações geométricas entre triângulo, hexágono e circunferência para expressar a área.
Alternativa por alternativa
O aluno trata o apótema a do hexágono como se fosse o próprio raio, ou seja, assume r = a e não converte a relação entre apótema e raio.
O aluno associa o resultado a fórmulas de figuras com diagonal, como o quadrado, e introduz um fator raiz de 2 que não corresponde ao triângulo equilátero inscrito.
O aluno chega a uma expressão com radicais, mas erra o cálculo da constante, por exemplo dobrando o resultado ou trocando raiz de 3 por raiz de 2 ao substituir r^2 em função de a.
O aluno usa o fator 1/2 raiz de 3 da relação apótema-raio como se fosse o coeficiente da área, sem substituir corretamente o r ao quadrado e sem aplicar a fórmula da área do triângulo equilátero.
CORRETA. A área do triângulo equilátero inscrito pode ser expressa como √3 vezes o quadrado do apótema do hexágono regular inscrito na mesma circunferência.
Raio-X da questão
área triângulo regular
diagnostico
propriedades triângulo equilátero · propriedades hexágono regular
estude propriedades de polígonos regulares e relações com circunferência
Confundir apótema com raio ou usar fórmulas incorretas para área de triângulo regular.
pensamento_critico
abstrato
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