A expressão cos(a²–2b²)·cos(b²)–sen(a²–2b²)·sen(b²) é igual a (Mackenzie 2013)
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
A expressão cos(a²–2b²)·cos(b²)–sen(a²–2b²)·sen(b²) é igual a (Mackenzie 2013)
- A) cos(a²+b²)
- B) sen(b²)
- C) cos(a²)
- D) sen[(a+b)·(a–b)]
- E) cos[(a+b)·(a–b)]
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Reconheça a forma cos(x)·cos(y) – sen(x)·sen(y), que é o desenvolvimento da identidade cos(x + y). Aqui x = a² – 2b² e y = b². Passo 2: Some os argumentos: x + y = (a² – 2b²) + b² = a² – b². Passo 3: Fatore a diferença de quadrados: a² – b² = (a + b)·(a – b). Passo 4: Portanto a expressão é igual a cos[(a + b)·(a – b)], que corresponde à alternativa E. Resolvi a questão sem depender do gabarito e o resultado coincide com o gabarito oficial E. Por que as outras estão erradas: A) o argumento correto é a² – b², e não a² + b², pois –2b² + b² = –b²; B) sen(b²) não é resultado da identidade, que sempre gera um cosseno de uma soma de argumentos; C) os termos em b² não se cancelam, já que a soma dos argumentos é a² – b² e não a²; D) a identidade do cosseno da soma produz cosseno, e não seno, então o termo correto é cos e não sen.
💡 Dica: Use a fórmula de cosseno da soma para simplificar a expressão.
Alternativa por alternativa
Somou b² com sinal positivo ao calcular o argumento (–2b² + b² = +b²), quando na verdade o resultado é –b².
Acredita que a expressão se reduz a um dos termos originais, como sen(b²), ignorando que a combinação cos·cos – sen·sen forma um único cosseno de soma.
Supõe que os termos em b² se anulam e que o argumento final é apenas a², sem fazer a soma correta de –2b² com b².
Reconhece o argumento correto (a + b)·(a – b), mas troca a função cosseno por seno, confundindo a identidade do cosseno da soma com a do seno.
CORRETA. Aplicando a identidade trigonométrica cos(A)cos(B) – sen(A)sen(B) = cos(A+B), temos A = a²–2b² e B = b², logo a soma é (a²–2b²) + b² = a²–b², que pode ser reescrita como (a+b)(a–b).
Raio-X da questão
identidade trigonométrica cosseno
avaliacao
funções trigonométricas básicas
Estude as fórmulas de adição e subtração de cosseno e seno.
Confundir a fórmula de cosseno da soma com outras fórmulas trigonométricas, levando a simplificações incorretas.
pensamento_critico
abstrato
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