Um arame de 63 m de comprimento é cortado em duas partes e com elas constroem-se um triângulo e um hexágono…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Um arame de 63 m de comprimento é cortado em duas partes e com elas constroem-se um triângulo e um hexágono regulares. Se a área do hexágono é 6 vezes maior que a área do triângulo, podemos concluir que o lado desse triângulo mede (Mackenzie 2013)
- A) 5 m
- B) 7 m
- C) 9 m
- D) 11 m
- E) 13 m
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Chame o lado do triângulo de t e o lado do hexágono de h. O arame de 63 m é todo usado nas duas figuras, então 3t + 6h = 63, que simplifica para t + 2h = 21. Passo 2: A área do triângulo equilátero é (raiz de 3)/4 vezes t^2. A área do hexágono regular é formada por 6 triângulos equiláteros de lado h, logo vale 6 vezes (raiz de 3)/4 vezes h^2, ou seja, (3 raiz de 3)/2 vezes h^2. Passo 3: A condição do enunciado diz que a área do hexágono é 6 vezes a área do triângulo: (3 raiz de 3)/2 vezes h^2 = 6 vezes (raiz de 3)/4 vezes t^2 = (3 raiz de 3)/2 vezes t^2. Cancelando o fator comum, h^2 = t^2, portanto h = t. Passo 4: Substituindo h = t em t + 2h = 21, temos t + 2t = 21, ou seja, 3t = 21 e t = 7 m. Verificação: o triângulo tem perímetro 21 m e o hexágono também tem perímetro 42 m, totalizando 63 m. Passo 5: Por que as demais estão erradas: A (5 m) não satisfaz 3t + 6t = 63; C (9 m), D (11 m) e E (13 m) também não produzem o comprimento total de 63 m quando aplicados à relação correta entre os lados. O gabarito B está correto.
💡 Dica: Use as fórmulas de área para triângulo e hexágono regulares e relacione as áreas dadas.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente tratou a relação entre as áreas sem igualar corretamente os lados ou fez a conta do perímetro com a soma dos lados errada, chegando a um valor que não fecha com os 63 m do arame.
CORRETA. Ao montar as equações para perímetro e área dos polígonos e resolver o sistema, encontra-se que o lado do triângulo mede 7 m.
O aluno provavelmente errou a contagem dos lados de uma das figuras na equação do perímetro, ou dividiu 63 por um número errado ao isolar o lado.
O aluno provavelmente não percebeu que o hexágono tem 6 lados iguais e que, por isso, seu perímetro é 6h, ou deixou de usar a relação h = t obtida pela comparação das áreas.
O aluno provavelmente interpretou a condição de áreas como uma relação entre os lados sem aplicá-la corretamente, ou cometeu erro aritmético ao resolver a equação do perímetro.
Raio-X da questão
área triângulo e hexágono regulares
avaliacao
fórmulas área polígonos regulares · relações perímetro e lado
fórmulas de área de polígonos regulares e relações entre lados e perímetros
Confundir as fórmulas de área do triângulo e do hexágono ou não relacionar corretamente as áreas dadas.
pensamento_critico
abstrato
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