Considere a região do plano dada pelos pontos (x, y) tais que x² + y² = 2x e x² + y² = 2y. Fazendo p = 3, a…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Considere a região do plano dada pelos pontos (x, y) tais que x² + y² = 2x e x² + y² = 2y. Fazendo p = 3, a área dessa região é (Mackenzie 2012)
- A) 1
- B) 0,5
- C) 2
- D) 1,5
- E) 2,5
✅ Resposta correta: alternativa B
Resolução passo a passo
- Reescreva as equações como círculos. x² + y² = 2x equivale a (x - 1)² + y² = 1, circunferência de centro (1, 0) e raio 1. x² + y² = 2y equivale a x² + (y - 1)² = 1, circunferência de centro (0, 1) e raio 1. A região pedida é a interseção dos dois discos.
- Encontre os pontos de interseção. Subtraindo as equações, 2x = 2y, logo x = y. Substituindo em x² + y² = 2x, obtemos 2x² = 2x, então x = 0 ou x = 1. Os pontos são (0, 0) e (1, 1), e a distância entre os centros é raiz de 2.
- Calcule a área da interseção (lente). Para dois círculos de raio r e distância d entre os centros, a área da lente é 2r² arccos(d/(2r)) - (d/2) raiz de (4r² - d²). Com r = 1 e d = raiz de 2, arccos(raiz de 2 / 2) = pi/4, e a área fica 2(pi/4) - (raiz de 2 / 2)(raiz de 2) = pi/2 - 1.
- Use p = 3 no lugar de pi. A área é p/2 - 1 = 3/2 - 1 = 0.5. Alternativa B.
- Por que as outras estão erradas. A) 1 corresponde ao quadrado de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), que não é a região. C) 2 não divide corretamente a parte curva da lente. D) 1,5 é a metade de um círculo, que ignora a interseção. E) 2,5 soma o triângulo em vez de subtraí-lo.
💡 Dica: Use a equação das circunferências para determinar a região e calcule a área entre elas.
Alternativa por alternativa
Acredita que a região interseção é o quadrado de lado 1 com vértices (0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1), e não a lente curva formada pelos dois arcos.
CORRETA. A área da região de interseção das duas circunferências, considerando π = 3, é 0,5.
Calcula a parte curva da lente sem a devida divisão pela metade e obtém p - 1 = 2, em vez de p/2 - 1.
Supõe que a região é um semicírculo de raio 1, área p/2 = 1,5, sem perceber que a região é a interseção de dois discos deslocados.
Ao montar a área da lente, soma em vez de subtrair a área do triângulo formado pelos centros e pontos de interseção, obtendo p/2 + 1 = 2,5.
Raio-X da questão
área entre circunferências
diagnostico
equação da circunferência · cálculo de áreas planas
estude equações de circunferências e cálculo de áreas entre curvas
Confundir as equações das circunferências ou calcular incorretamente a área da região delimitada.
pensamento_critico
abstrato
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