Unindo-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular H1, obtém-se um hexágono regular H2. A razão entre…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Unindo-se os pontos médios dos lados de um hexágono regular H1, obtém-se um hexágono regular H2. A razão entre as áreas de H1 e H2 é (Mackenzie 2012)
- A) 4/3
- B) 6/5
- C) 7/6
- D) 3/2
- E) 5/3
✅ Resposta correta: alternativa A
Resolução passo a passo
- Seja a a medida do lado do hexágono regular H1. Cada ângulo interno de um hexágono regular mede 120 graus.
- Considere dois lados consecutivos de H1 e seus pontos médios M e N. Como cada lado mede a, os segmentos que vão do vértice comum até M e até N medem a/2 cada um, formando um triângulo com ângulo de 120 graus no vértice.
- Pela lei dos cossenos, MN^2 = (a/2)^2 + (a/2)^2 - 2·(a/2)·(a/2)·cos 120 graus = a^2/4 + a^2/4 + a^2/4 = 3a^2/4. Logo MN = a·raiz de 3 / 2. Esse é o lado do hexágono H2, pois os pontos médios de um hexágono regular formam um hexágono regular.
- A razão entre as áreas de figuras semelhantes é o quadrado da razão de semelhança. Então, Área(H1)/Área(H2) = (a / (a·raiz de 3 / 2))^2 = (2/raiz de 3)^2 = 4/3.
- Portanto a alternativa correta é a A (4/3), que coincide com o gabarito oficial.
- Por que as outras estão erradas: a B (6/5) não corresponde a nenhuma razão entre quadrados de lados obtidos pela geometria do problema; a C (7/6) não surge de nenhum cálculo válido com os pontos médios; a D (3/2) é a razão de lados ao quadrado mal aplicada, sem respeitar o fator raiz de 3; a E (5/3) também não resulta do cálculo correto do lado de H2.
💡 Dica: Use propriedades de hexágonos regulares e razões de áreas.
Alternativa por alternativa
CORRETA. Ao unir os pontos médios dos lados de um hexágono regular, o novo hexágono tem lados com razão 1/√3 em relação ao original, logo a razão das áreas é (1/√3)² = 1/3, invertendo para H₁/H₂, temos 4/3.
Provavelmente calculou o lado de H2 com um valor aproximado ou arbitrário, sem usar a lei dos cossenos com o ângulo de 120 graus, e depois elevou a razão ao quadrado de forma incorreta.
Provavelmente usou o ângulo de 60 graus no triângulo formado pelos pontos médios, em vez de 120 graus, o que daria lado de H2 igual a a/2 e razão 4, ou fez outro erro de cálculo na distância entre os pontos médios.
Provavelmente supôs que a razão entre as áreas seria igual a uma razão simples entre comprimentos, sem perceber que a área depende do quadrado da razão de semelhança e sem considerar o fator raiz de 3 no lado de H2.
Provavelmente errou a medida do lado de H2 ao somar os quadrados dos segmentos (a/2)^2 de forma incorreta ou esqueceu o termo do cosseno, chegando a uma razão de quadrados que não corresponde à geometria da figura.
Raio-X da questão
razão áreas hexágonos regulares
avaliacao
polígonos regulares · razão entre áreas
Estude propriedades e cálculo de áreas de polígonos regulares.
Confundir razão entre lados com razão entre áreas, levando a erro no cálculo final.
pensamento_critico
abstrato
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