Na igualdade y = sqrt{log_{1/2}((x/2) - 3)}, supondo x o maior valor inteiro possível, então, nesse caso…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
Na igualdade y = sqrt{log_{1/2}((x/2) - 3)}, supondo x o maior valor inteiro possível, então, nesse caso, x^{2y} vale (Mackenzie 2012)
- A) 1/8
- B) 4
- C) 1/4
- D) 8
- E) 1
✅ Resposta correta: alternativa E
Resolução passo a passo
- Condições de existência. A raiz quadrada exige que o logaritmo seja maior ou igual a zero. O logaritmo exige que o argumento seja positivo: x/2 - 3 > 0, ou seja, x > 6. Como a base 1/2 está entre 0 e 1, a função é decrescente, e log de base 1/2 é maior ou igual a zero apenas quando o argumento é menor ou igual a 1: x/2 - 3 <= 1, ou seja, x <= 8. Logo, 6 < x <= 8.
- Maior inteiro possível. Os inteiros no intervalo são 7 e 8. O maior é x = 8.
- Cálculo de y. Com x = 8, temos x/2 - 3 = 4 - 3 = 1. Como log de base 1/2 de 1 é 0 (porque (1/2) elevado a 0 vale 1), temos y = raiz quadrada de 0 = 0.
- Cálculo de x^(2y). Com y = 0, o expoente 2y vale 0, e qualquer base não nula elevada a zero vale 1. Logo, x^(2y) = 8^0 = 1.
- Conclusão e comparação com o gabarito. O valor é 1, alternativa E, que coincide com o gabarito oficial. Por que as outras estão erradas: A) 1/8 exigiria expoente -1, o que não ocorre porque y = 0; B) 4 corresponderia a x = 2 elevado a 2, mas x deve ser 8; C) 1/4 exigiria expoente negativo, o que também não ocorre; D) 8 corresponderia a expoente 1, o que exigiria y = 1/2, mas o logaritmo de 1 é zero.
💡 Dica: Determine o maior x inteiro que mantém a expressão definida e calcule x^{2y}.
Alternativa por alternativa
Provavelmente obteve expoente negativo, tomando y = -1/2 (raiz negativa) ou invertendo o sinal do expoente, e calculou 8 elevado a -1.
Provavelmente não aplicou corretamente a condição do domínio e considerou x = 2 em vez de x = 8, calculando 2 elevado a 2 com y = 1.
Provavelmente tomou o expoente como negativo (por exemplo, -2) e calculou 2 elevado a -2, confundindo o sinal ao manipular o logaritmo de base menor que 1.
Supôs que log de base 1/2 de 1 vale 1 (ou que y = 1/2), tornando o expoente igual a 1 e obtendo 8. Esqueceu que o logaritmo de 1 em qualquer base é zero.
CORRETA. O maior valor inteiro de x que mantém o argumento do logaritmo positivo é x = 8, pois (8/2) - 3 = 1. Assim, log_{1/2}(1) = 0, então y = sqrt{0} = 0. Portanto, x^{2y} = 8^{0} = 1.
Raio-X da questão
logaritmo base fracionária e radiciação
avaliacao
propriedades de logaritmos · operações com radicais
Estude propriedades de logaritmos e radicais.
Confundir domínio da função logarítmica com base menor que 1 e erro ao calcular o maior valor inteiro de x.
pensamento_critico
abstrato
🔎 Procurar outra questão
Procure no banco do GeraProva pelo tema ou por um trecho do enunciado. Cada questão já vem com resolução comentada e a análise de cada alternativa.
Professor: monte a prova com questões como esta, com gabarito e folha de respostas, em 30 segundos. Ver planos · Blog