As raízes da equação x³ - 9x² + 23x - 15 = 0, colocadas em ordem crescente, são os três primeiros termos de…
Publicado por Alexandre Lombardi dos Santos, fundador do GeraProva
Resolver e elaborar problemas do cotidiano, da Matemática e de outras áreas do conhecimento, que envolvem equações lineares simultâneas, usando técnicas algébricas e gráficas, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
Fonte: Base Nacional Comum Curricular (MEC).Questão
As raízes da equação x³ - 9x² + 23x - 15 = 0, colocadas em ordem crescente, são os três primeiros termos de uma progressão aritmética cuja soma dos 20 primeiros termos é (Mackenzie 2012)
- A) 500
- B) 480
- C) 260
- D) 400
- E) 350
✅ Resposta correta: alternativa D
Resolução passo a passo
- Encontre a primeira raiz da equação x³ - 9x² + 23x - 15 = 0 testando valores inteiros que são divisores de 15. Para x = 1: 1 - 9 + 23 - 15 = 0, logo x = 1 é raiz. Passo 2: Divida o polinômio por (x - 1), obtendo x² - 8x + 15. Passo 3: Resolva x² - 8x + 15 = 0 por Bhaskara ou por soma e produto: as raízes são x = 3 e x = 5. Passo 4: Em ordem crescente, as raízes são 1, 3 e 5. Eles formam uma progressão aritmética com primeiro termo a1 = 1 e razão r = 2, pois 3 - 1 = 2 e 5 - 3 = 2. Passo 5: Calcule o vigésimo termo: a20 = a1 + 19r = 1 + 38 = 39. Passo 6: Calcule a soma dos 20 primeiros termos: S20 = 20 (a1 + a20) / 2 = 20 (1 + 39) / 2 = 20 · 20 = 400. Passo 7: Comparando com o gabarito oficial, a resposta correta é a alternativa D, 400, e a resolução confirma o gabarito. Por que as outras estão erradas: A (500) não corresponde a a20 = 39 nem a nenhuma razão correta da PA; B (480) e C (260) resultam de termos ou somas calculados de forma incorreta; E (350) também não é a soma dos 20 termos com a razão 2.
💡 Dica: Use propriedades de progressão aritmética e relações entre raízes e coeficientes.
Alternativa por alternativa
O aluno provavelmente errou o termo geral ou a aritmética ao calcular a20, chegando a um valor muito maior que 39 e, assim, uma soma acima de 400.
O aluno pode ter aplicado mal a fórmula do termo geral (por exemplo, multiplicando a razão por um número errado) e obteve um a20 próximo de 47, o que leva a uma soma incorreta.
O aluno provavelmente tomou um número errado de termos ou calculou a20 de forma equivocada, chegando a uma soma muito menor que 400.
CORRETA. Ao resolver a equação x³ - 9x² + 23x - 15 = 0, as raízes são 1, 3 e 5, formando uma PA de razão 2. Calculando a soma dos 20 primeiros termos, obtemos 400.
O aluno pode ter confundido o número de termos ou a razão da progressão, ou errado ao somar a1 e a20, obtendo uma soma de 350 que não corresponde à PA formada pelas raízes.
Raio-X da questão
raízes, progressão aritmética, soma
diagnostico
progressão aritmética básica · relações entre raízes e coeficientes
Estude progressão aritmética e relações entre coeficientes e raízes de polinômios.
Confundir progressão aritmética com progressão geométrica ou esquecer relações entre coeficientes e raízes.
pensamento_critico
abstrato
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